Линейно – логарифмическая модель

Построим линейно-логарифмическую модель без переменных guest и cruising_speed, так как они способствовали появлению мультиколлинеарности в модели, и это было обосновано в линейной модели.

Модель 8: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-1,8149e+07	2,01345e+06	-9,0139	<0,00001	***
l_length	3,28178e+06	1,07692e+06	3,0474	0,00275	***
l_beam	3,1294e+06	1,72959e+06	1,8093	0,07251	*
l_draft	462760	340241	1,3601	0,17596
l_displacemen	-478989	406207	-1,1792	0,24030
l_max_speed	550007	452356	1,2159	0,22605
l_power	-334317	258857	-1,2915	0,19862
l_fuel	1,35001e+06	397765	3,3940	0,00089	***
l_water	-514265	315341	-1,6308	0,10514
l_cabin	-276725	334254	-0,8279	0,40912
region	-116495	186201	-0,6256	0,53255

Среднее зав. перемен	2126600		Ст. откл. зав. перемен	1729069
Сумма кв. остатков	1,34e+14		Ст. ошибка модели	972806,8
R-квадрат	0,704285		Испр. R-квадрат	0,683460
F(10, 142)	33,81923		Р-значение (F)	8,28e-33
Лог. правдоподобие	-2320,945		Крит. Акаике	4663,890
Крит. Шварца	4697,224		Крит. Хеннана-Куинна	4677,431

В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_fuel значимые на 1% уровне, l_beam на 10 % уровне. Уравнение в целом значимое на 1 % уровне значимости и R2= 0,704285.

Полученные результаты свидетельствуют о наличии мультиколлинерности в модели. ( мало значимых переменных, а уравнение в целом значимо). В результате проведенного теста на мультиколлениарность было обнаружено, что переменная l_fuel является причиной данной проблемы. Исключим данную переменную.

Модель 9: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-1,6953e+07	2,05399e+06	-8,2537	<0,00001	***
l_length	3,62544e+06	1,11088e+06	3,2636	0,00138	***
l_beam	4,73904e+06	1,72339e+06	2,7498	0,00673	***
l_draft	618393	349317	1,7703	0,07881	*
l_displacemen	-54419,6	400428	-0,1359	0,89209
l_max_speed	487560	468311	1,0411	0,29958
l_power	-213207	265648	-0,8026	0,42354
l_water	93090,9	269028	0,3460	0,72983
l_cabin	-309391	346186	-0,8937	0,37298
region	-267874	187311	-1,4301	0,15487

Среднее зав. перемен	2126600		Ст. откл. зав. перемен	1729069
Сумма кв. остатков	1,45e+14		Ст. ошибка модели	1007952
R-квадрат	0,680296		Испр. R-квадрат	0,660175
F(9, 143)	33,80991		Р-значение (F)	3,06e-31
Лог. правдоподобие	-2326,912		Крит. Акаике	4673,823
Крит. Шварца	4704,128		Крит. Хеннана-Куинна	4686,134

В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam значимы на 1%, а при l_draft на 10 % уровне.

Было решено исключить незначимые переменные кроме l_max_speed, l_power и l_cabin, так как на мой взгляд, данные параметры очень важны при формировании цены яхт.

Проинтерпретируем коэффициент при фиктивной переменной region ( 1- Европа, 0-Америка) :

Цена яхты в Европе на 309391 евро ниже, чем цена яхты в Америке.

Модель 10: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-1,61656e+07	1,58912e+06	-10,1727	<0,00001	***
l_length	3,51482e+06	986341	3,5635	0,00049	***
l_beam	5,06154e+06	1,60009e+06	3,1633	0,00190	***
l_draft	590119	340584	1,7327	0,08527	*
l_max_speed	376427	428919	0,8776	0,38159
l_power	-252497	255302	-0,9890	0,32429
l_cabin	-361928	338985	-1,0677	0,28743

Среднее зав. перемен	2126600		Ст. откл. зав. перемен	1729069
Сумма кв. остатков	1,48e+14		Ст. ошибка модели	1005908
R-квадрат	0,674912		Испр. R-квадрат	0,661552
F(6, 146)	50,51811		Р-значение (F)	3,04e-33
Лог. правдоподобие	-2328,189		Крит. Акаике	4670,379
Крит. Шварца	4691,592		Крит. Хеннана-Куинна	4678,996

В данной модели коэффициенты при const, l_lenght, l_beam, значимы на 1% уровне значимости, при l_draft на 10% уровне. Уравнение в целом значимо на 1% и R2= 0,674912.

Коэффициенты при l_max_speed, l_cabin и l_power не являются значимыми. С помощью теста на линейное ограничение проверим равенство коэффициентов при данных переменных нулю.

H0: b[l_max_speed] = 0

F(1, 146) = 0,770214, р-значение = 0,381593

Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.

Н0: b[l_power] =0

F(1, 146) = 0,97815 , р-значение = 0,324292

Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.

H0: b[l_cabin]=0

F(1, 146) = 1,13994 , р-значение = 0,287427

Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.

Таким образом, нужно исключить данные переменные из модели.

Модель 11: МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-1,5307e+07	1,14931e+06	-13,3184	<0,00001	***
l_length	3,2356e+06	948798	3,4102	0,00084	***
l_beam	4,47475e+06	1,5185e+06	2,9468	0,00373	***
l_draft	481639	331730	1,4519	0,14863

Среднее зав. перемен	2126600		Ст. откл. зав. перемен	1729069
Сумма кв. остатков	1,51e+14		Ст. ошибка модели	1005444
R-квадрат	0,668538		Испр. R-квадрат	0,661864
F(3, 149)	100,1746		Р-значение (F)	1,50e-35
Лог. правдоподобие	-2329,675		Крит. Акаике	4667,350
Крит. Шварца	4679,471		Крит. Хеннана-Куинна	4672,274

В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam на 1% уровне. Уравнение в целом является значимым на 1% уровне и R2 = 0,668538.

Проведем тест Уайта на гетероскедастичность, так как метод МНК можно применять лишь при отсутствии гетероскедастичности.

Н0: в модели нет гетероскедастичности

Тест Вайта (White) на гетероскедастичность

МНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: uhat^2

Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение

------------------------------------------------------------------

const 6,00346e+013 2,91142e+013 2,062 0,0410 **

l_length 4,51192e+012 3,33044e+013 0,1355 0,8924

l_beam -7,96889e+013 5,58662e+013 -1,426 0,1559

l_draft -2,42108e+013 8,39166e+012 -2,885 0,0045 ***

sq_l_length -3,02120e+011 1,29880e+013 -0,02326 0,9815

X2_X3 -1,96861e+012 3,27349e+013 -0,06014 0,9521

X2_X4 8,78593e+012 8,69348e+012 1,011 0,3139

sq_l_beam 2,58137e+013 2,54149e+013 1,016 0,3115

X3_X4 -8,85192e+011 1,37071e+013 -0,06458 0,9486

sq_l_draft 9,41496e+011 1,89302e+012 0,4974 0,6197

Неисправленный R-квадрат = 0,286356

Тестовая статистика: TR^2 = 43,812479,

р-значение = P(Хи-квадрат(9) > 43,812479) = 0,000002

Таким образом, в модели есть гетероскедастичность.

Проведем коррекцию ошибок в формуле Уайта.

Предположим, что зависимость квадратных остатков описывается следующим образом:

Оцениваем параметры модели. Получаем ряд .

Используем оценку дисперсии: .

В качестве весов возьмем переменную w3=1/ .

Модель 12: ВМНК, использованы наблюдения 1-153

Зависимая переменная: price

Весовая переменная: w3

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-1,51531e+07	1,13625e+06	-13,3361	<0,00001	***
l_length	3,18289e+06	934159	3,4072	0,00084	***
l_beam	4,483e+06	1,4938e+06	3,0011	0,00316	***
l_draft	453326	327163	1,3856	0,16793

Статистика, полученная по взвешенным данным:

Сумма кв. остатков	5,66e+12		Ст. ошибка модели	194913,3
R-квадрат	0,668510		Испр. R-квадрат	0,661836
F(3, 149)	100,1621		Р-значение (F)	1,51e-35
Лог. правдоподобие	-2078,658		Крит. Акаике	4165,317
Крит. Шварца	4177,439		Крит. Хеннана-Куинна	4170,241

Статистика, полученная по исходным данным:

Среднее зав. перемен	2126600		Ст. откл. зав. перемен	1729069
Сумма кв. остатков	1,51e+14		Ст. ошибка модели	1005572

В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam являются значимыми на 1% уровне. Уравнение в целом является значимым на 1% уровне и R2 = 0,668510.

Существенным недостатком данной модели является то, что значительные характеристики модели были исключены при улучшении линейно-логарифмической модели и данная модель характеризует зависимость цены только от размеров судна. Также недостатком является то, что оценки коэффициентов не являются наилучшими в классе несмещенных линейных оценок.

Полученная модель отображает зависимость цены яхты от длины, ширины и осадки судна. В процессе улучшения модели фиктивная переменная region была исключена из модели, но была проинтерпретирована ранее.

Price = -1,51531e+07 +3,18289e+06 * ln ( length) + 4,483e+06 * ln ( beam) + 453326 ln (draft)

Проинтерпретируем значимые коэффициенты полученной модели:

• При увеличении длины яхты на 1%, цена увеличивается на 31828.9 евро;

• При увеличении ширины яхты на 1%, цена яхты увеличивается на 44830 евро;

• При увеличении осадки яхты на 1%, цена яхты увеличивается на 4533,26 евро;