Логарифмически – линейная модель
Построим логарифмически-линейную модель без переменных guest и cruising_speed, так как они способствуют появлению мультиколлинеарности в модели, и это было обосновано в линейной модели.
Модель 13: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: l_price
|
Коэффициент |
Ст. ошибка |
t-статистика |
P-значение |
|
const |
9,89956 |
0,460668 |
21,4896 |
<0,00001 |
*** |
length |
0,054887 |
0,0191551 |
2,8654 |
0,00480 |
*** |
beam |
0,497135 |
0,111996 |
4,4389 |
0,00002 |
*** |
draft |
0,0399495 |
0,0909817 |
0,4391 |
0,66126 |
|
displacement |
-0,000552881 |
0,00323665 |
-0,1708 |
0,86461 |
|
max_speed |
0,0237727 |
0,00653109 |
3,6399 |
0,00038 |
*** |
power |
-8,85183e-05 |
5,09024e-05 |
-1,7390 |
0,08421 |
* |
fuel |
4,16582e-05 |
1,99477e-05 |
2,0884 |
0,03855 |
** |
water |
-9,01121e-05 |
7,75512e-05 |
-1,1620 |
0,24720 |
|
cabin |
-0,0178849 |
0,0389081 |
-0,4597 |
0,64646 |
|
region |
-0,101861 |
0,0709582 |
-1,4355 |
0,15334 |
|
Среднее зав. перемен |
14,28327 |
|
Ст. откл. зав. перемен |
0,763842 |
Сумма кв. остатков |
19,97390 |
|
Ст. ошибка модели |
0,375048 |
R-квадрат |
0,774777 |
|
Испр. R-квадрат |
0,758916 |
F(10, 142) |
48,84862 |
|
Р-значение (F) |
4,83e-41 |
Лог. правдоподобие |
-61,34272 |
|
Крит. Акаике |
144,6854 |
Крит. Шварца |
178,0202 |
|
Крит. Хеннана-Куинна |
158,2266 |
В данной модели коэффициенты при length, beam, max_speed значимы на 1% уровне, при fuel значим на 5%, а при power на 10%. В целом уравнение является значимым на 1% уровне значимости и R2= 0.77477.
В целях улучшения модели были решено исключить незначимые переменные, кроме переменной cabin по описанной выше причине.
Проинтерпретируем коэффициент при region (1-Европа, 0 – Америка):
Цена яхты в Европе на 9,68 % ниже, чем в Америке. (e^(-0,101861) – 1) *100%)
Модель 14: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: l_price
|
Коэффициент |
Ст. ошибка |
t-статистика |
P-значение |
|
const |
9,91177 |
0,424348 |
23,3576 |
<0,00001 |
*** |
length |
0,0494995 |
0,0183571 |
2,6965 |
0,00783 |
*** |
beam |
0,508304 |
0,108715 |
4,6755 |
<0,00001 |
*** |
max_speed |
0,0233093 |
0,00621179 |
3,7524 |
0,00025 |
*** |
power |
-0,000101 |
5,02943e-05 |
-2,0082 |
0,04647 |
** |
fuel |
3,20045e-05 |
1,57517e-05 |
2,0318 |
0,04399 |
** |
cabin |
-0,025506 |
0,037828 |
-0,6743 |
0,50121 |
|
Среднее зав. перемен |
14,28327 |
|
Ст. откл. зав. перемен |
0,763842 |
Сумма кв. остатков |
20,53832 |
|
Ст. ошибка модели |
0,375065 |
R-квадрат |
0,768413 |
|
Испр. R-квадрат |
0,758895 |
F(6, 146) |
80,73863 |
|
Р-значение (F) |
6,95e-44 |
Лог. правдоподобие |
-63,47446 |
|
Крит. Акаике |
140,9489 |
Крит. Шварца |
162,1620 |
|
Крит. Хеннана-Куинна |
149,5660 |
В данной модели коэффициенты при length, beam, max_speed значимы на 1% уровне, при power, fuel значимы на 5%. В целом уравнение является значимым на 1% уровне и R2=0.768413.
Коэффициент при переменной cabin остался незначимым, поэтому проведем тест на линейной ограничение.
Н0: b[cabin] = 0
Тестовая статистика: F(1, 146) = 0,454629, р-значение = 0,501211
Так как р-значение больше тестовой статистики, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. коэффициент при cabin не равняется нулю.
Проведем тест Уайта на гетероскедастичность, так как метод МНК можно применять лишь при отсутствии гетероскедастичности.
Н0: в модели нет гетероскедастичности
Тест Вайта (White) на гетероскедастичность
МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: uhat^2
Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение
------------------------------------------------------------------
const 5,25618 2,29287 2,292 0,0236 **
length 0,252828 0,108242 2,336 0,0211 **
beam -2,33198 0,844865 -2,760 0,0066 ***
max_speed -0,108694 0,0481628 -2,257 0,0258 **
power -0,000364148 0,000567113 -0,6421 0,5220
fuel -0,000121774 0,000131085 -0,9290 0,3547
cabin 0,569793 0,292768 1,946 0,0539 *
sq_length -0,00157383 0,00360271 -0,4368 0,6630
X2_X3 -0,0122995 0,0277385 -0,4434 0,6582
X2_X4 -0,00474531 0,00197819 -2,399 0,0179 **
X2_X5 3,32815e-06 2,00784e-05 0,1658 0,8686
X2_X6 1,64236e-07 3,75896e-06 0,04369 0,9652
X2_X7 -0,00110004 0,0116695 -0,09427 0,9250
sq_beam 0,156129 0,0729010 2,142 0,0342 **
X3_X4 0,0340789 0,0132349 2,575 0,0112 **
X3_X5 0,000117342 0,000127126 0,9230 0,3578
X3_X6 8,28772e-06 2,57275e-05 0,3221 0,7479
X3_X7 -0,104807 0,0716279 -1,463 0,1459
sq_max_speed 0,000315194 0,000572516 0,5505 0,5829
X4_X5 -1,74606e-06 8,03123e-06 -0,2174 0,8282
X4_X6 2,37163e-06 2,41266e-06 0,9830 0,3275
X4_X7 -0,00504799 0,00390465 -1,293 0,1985
sq_power -2,86432e-08 4,21798e-08 -0,6791 0,4983
X5_X6 -2,30338e-08 1,23299e-08 -1,868 0,0641 *
X5_X7 2,59563e-06 2,93039e-05 0,08858 0,9296
sq_fuel 4,85108e-010 2,35884e-09 0,2057 0,8374
X6_X7 1,37964e-05 1,09033e-05 1,265 0,2081
sq_cabin 0,0185207 0,0176845 1,047 0,2970
R2= 0,362602
TR^2 = 55,478158,
Р-значение = P(р-значение (27) > 55,478158) = 0,000999
Таким образом, делаем вывод, что в модели есть гетероскедастичность.
Проведем коррекцию ошибок в формуле Уайта.
Предположим, что зависимость квадратных остатков описывается следующим образом:
Оцениваем параметры модели. Получаем ряд . В ряде есть отрицательные значения, поэтому в дальнейшем коррекция ошибок не возможна в формуле Уайта.
Полученная модель отображает зависимость цены яхты от длины, ширины, максимальной скорости, запаса топлива, числа кают, а также мощности. В процессе улучшения модели фиктивная переменная region была исключена из модели, но была проинтерпретирована ранее.
Проинтерпретируем коэффициенты полученной модели:
При увеличении длины яхты на 1м, цена увеличивается на 5,07%;
При увеличении ширины яхты на 1м, цена увеличивается на 66,25%;
При увеличении максимальной скорости на 1 узел, цена увеличивается на 2,35%;
При увеличении мощности на 1 НР, цена уменьшается на 1%;
При увеличении запаса топлива на 1 литр, цена увеличивается на 0,0032%;
При увеличении количества кабин на 1, цена уменьшается на 2,51%.