2.2 Линейное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами

Здесь будет рассматриваться линейное уравнение порядка n:

Коэффициенты a_i(t), i = 1,,n и свободный член b(t) которого предполагаются определенными и непрерывными на интервале I = {t: q₁ < t < q₂}. Исследование уравнения (2.17) будет проводиться путем его сведения к нормальной системе уравнений методом, описанным в параграфе 4 гл. 1 первой части.

Фундаментальная система решений.

Для сведения уравнения (2.17) к нормальной линейной системе введем новые неизвестные функции

Эти новые неизвестные функции x₁,,x_n удовлетворяют линейной системе (см. § 4 гл. 1 часть 1)

Введем матрицу A(t):

Как в предыдущем параграфе систему (2.19) запишем в векторной форме

В том базисе   пространства  , в котором оператору A(t):      соответствует матрица (2.20),  , вектор  определяется формулой

Уравнения (2.17) и (2.21) эквивалентны между собой в том смысле, что каждому решению x = (t) уравнения (2.17) соответствует решение   уравнения (2.21), и обратно, каждому решению   уравнения (2.21), соответствует решение x =₁(t) уравнения (2.17), причем соответствие это взаимно однозначно. Если решения (t) уравнения (2.17) и  уравнения (2.21) соответствуют в указанном смысле друг другу, то мы будем писать

Из эквивалентности уравнений (2.17) и (2.21) следует, в частности, что любое решение уравнения (2.17) может быть продолжено на весь интервал I, так что в дальнейшем мы будем считать каждое рассматриваемое решение уравнения (2.17) определенным на этом интервале I и что каждое рассматриваемое значение t принадлежит ему.

В первую очередь изучим однородное уравнение

которому соответствует система уравнений вида

где оператор A(t):      порожден матрицей (2.20).

Фазовое пространство уравнения (2.23) совпадает с фазовым пространством эквивалентной ему системы (2.24), т.е. представляет собойn-мерное линейное пространство  , координатами точек которого является переменные  .

Пространство X решений уравнения (2.23) - это линейное пространство функций : I  R. Соответствие (2.22) задает изоморфизм между пространством X решений уравнений (2.23) и пространством   решений эквивалентной ему системы (2.24). Отсюда следует, что некоторая система решений

уравнения (2.23) линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависимыми являются соответствующие решения  уравнения (2.24): 

Из теоремы 2.1.2 вытекает:

Следствие 2.2.1 Пространство X решений уравнения (2.23) изоморфно фазовому пространству   уравнения (2.23), причем изоморфизм можно задать, сопоставляя каждому решению   X набор значений производных в какой-нибудь точке t₀:

Базис линейного пространства решений X называется фундаментальной системой решений уравнения (2.23).

Из следствия 2.2.1 вытекает, что всякое уравнения (2.23) имеет фундаментальную систему из n решений ₁(t),,_n(t). При этом каждое решение уравнения (2.23) может быть записано в виде

где c₁,,c_n - константы.

Определителем Вронского системы функций _k: I  R, k = 1,,n называется числовая функция W: I  R, значение которой в точке tравно

Другими словами, это - определитель Вронского системы вектор-функций  , полученных из _k способом, указанным в  (2.22):

Все сказанное об определителе Вронского системы векторов-решений системы уравнений (2.24) переносится без изменений на определитель Вронского системы решений уравнения (2.23). В частности:

Следствие 2.2.2 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех t.

Следствие 2.2.3 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Следствие 2.2.4 Система n решений уравнения (2.23) фундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от 0 хоть в одной точке.

Если в формуле (2.10) учесть, что след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы (2.20), равен a₁(t), то для определителя (2.25)имеет место формула Лиувилля

Метод вариации постоянных

Пусть

- неоднородное уравнение и пусть

- соответствующее ему однородное уравнение. Как и в первом случае систем уравнений, произвольное решение уравнения (2.27)может быть записано в виде:

где (t) - общее решение однородного уравнения (2.28), а x₀(t) - частное решение неоднородного уравнения (2.27).

Пусть

какая-либо фундаментальная система решений уравнения (2.28). Тогда решение x₀(t) уравнения (2.27) может быть получено в виде:

где функции

получаются как решения системы алгебраических уравнений:

Так как определитель системы уравнений (2.32) относительно неизвестных (2.31) есть определитель Вронского системы решений (2.29), то в силу следствия 2.2.4 и следствия 2.2.2 он не обращается в 0 ни при одном значении t. Поэтому из системы (2.32)можно найти величины (2.31), а по ним определить квадратурами и нужные нам функции