1.1 Сжатые отображения

Рассмотренный в этом параграфе метод отыскания неподвижной точки отображения метрического пространства в себя применяется далее для доказательства теорем 1.1.1; 1.3.1 гл. 1 части 1.

Рассмотрим полное метрическое пространство X с метрикой . Отображение P: X  X пространства X в себя называется сжатым(говорят также, что отображение P есть оператор сжатия ), если существует число , 0 <  < 1, такое, что

для всех x, y  X.

Точка   называется неподвижной точкой отображения P если

Таким образом, неподвижные точки отображения P есть решения уравнения

Принцип Каччапполи - Банаха  (теорема о сжатых отображениях )

Теорема 1.1.1 Если P есть оператор сжатия, то в X существует единственное решение   уравнения (1.2). При этом   может быть получено как предел последовательности {x_n}, где

а x₀ - произвольный элемент из X. Скорость сходимости последовательности x_n к решению   даeтся неравенством

Доказательство. Так как

то в силу (1.1)

Отсюда следует неравенство

и поэтому для любого p > 0

Таким образом, {x_n} - фундаментальная последовательность (  при n  +) в X и поэтому существует предел  ,    X. Согласно (1.1)

Поскольку правая часть в этом неравенстве стремиться к нулю, то

и, следовательно

Единственность решения уравнения (1.2) также следует из условия (1.1). Действительно, если   - тоже решение уравнения (1.2), то

а это возможно, если только  . Оценки (1.3) следуют из (1.4), если перейти к пределу при p  +.

Замечание 1.1.1. Неравенство (1.3) дает оценку области возможного расположения решения уравнения (1.2). В самом деле, при n = 0

Замечание 1.1.2. Условие сжимаемости (1.1) нельзя, вообще говоря, заменить на более слабое

Действительно, если X = R и отображение P задается формулой

то условие (1.5) выполнено, а неподвижных точек данное отображение не имеет.

Замечание 1.1.3. Тoчки   (или иначе x_n+1 = P(x_n), n = 0,1,) используемые при доказательстве теоремы 1.1.1 называютсяпоследовательными приближениями. Поэтому можно сказать, что искомая неподвижная точка оператора сжатия P получена как предел последовательных приближений. Сам метод доказательства теоремы 1.1.1 называют методом последовательных приближений.Этот метод является одновременно методом приближенного вычисления решения и поэтому имеет большую практическую ценность.