2.2 Устойчивость положений равновесия

Рассмотрим прежде всего линейную однородную систему с постоянными коэффициентами.

Пусть

- векторная запись линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Решение его с начальными значениями  обозначим через  .

Теорема 2.2.1 Если все собственные значения оператора   имеют отрицательные действительные части, то существуют такие положительные числа  и r, что выполнено неравенство:

Из неравенства (2.12) немедленно следует, что положение равновесия   уравнения (2.11) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво.

Доказательство. Докажем неравенство (2.12). Зафиксируем в пространстве   некоторый базис  , скажем для определенности:

где единица стоит на i-ом месте. Пусть   - матрица, соответствующая оператору A в этом базисе, т.е.  . Положим

где _ij есть символ Кронекера: _ij = 0 при i  j, _ii = >1. Тогда, пользуясь символом дифференцирования  , уравнение (2.11) в скалярной форме можно записать в виде системы:

Через L(p) обозначим матрицу  , элементами которой являются L_ij(p). Пусть M_ij(p) - алгебраическое дополнение элемента L_ij(p) матрицы L(p) (т.е. минор этого элемента, взятый с надлежащим знаком). Из курса алгебры известно, что имеет место тождество:

где D(p) - определитель матрицы L(p). Умножая теперь соотношение (2.13) на множитель M_ki(p) и суммируя полученное соотношение по i, получаем:

Таким образом, если вектор функция   - некоторое решение уравнения (2.11), то каждая ее координата x_k в базисе e,  удовлетворяет дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами

Так как все корни многочлена D(p) по условию теоремы имеют отрицательные действительные части (корни многочлена D(p) являются собственными значениями оператора A), то для функции x_k(t) выполнено неравенство

где R и  - положительные постоянные, не зависящие от номера k. Из этих неравенств следует неравенство

Пусть, далее   - решение уравнения (2.11) с начальным условием

Тогда решение   уравнения (2.11) с начальным значением   запишется в виде:

Так как для каждого решения   выполнено неравенство (2.14), то есть  , то для решения  , очевидно, выполнено неравенство (2.12). Теорема доказана.

Функция Ляпунова

При установлении критерия устойчивости положения равновесия нелинейного уравнения (2.9) пользуются так называемымдифференцированием в силу системы уравнений.

Предположим,

- некоторая дифференцируемая функция переменных x₁,,x_n, определенная на открытом множестве  пространства переменных x₁,,x_n. Ее производная по t в силу системы уравнений (2.9) в точке   определяется следующим образом:

Пусть   - решение уравнения (2.9), удовлетворяющее при некотором t = t₀ начальному условию:

Производная   в силу системы (2.9) определяется формулой:

или в силу формулы дифференцирования сложной функции и уравнений (2.8):

Из формулы (2.15) видно, что производная   не зависит от решения  , а однозначно определяется выбором точки  .

Предложение 2.2.1 Пусть   - решение автономного уравнения (2.9) с начальными значениями  , т.е.  . Тогда вектор-функция   удовлетворяет тождеству:

Доказательство. Положим

где s - фиксированное значение, и рассмотрим решение уравнения (2.9):

Так как   есть решение уравнения  (2.9), то в силу свойств решений автономных уравнений решением является и функция:

Мы имеем, таким образом, два решения уравнения  (2.9):   и  . Далее,

Таким образом, решения   и   имеют общие начальные значения и поэтому по теореме единственности совпадают. Это означает, что выполнено соотношение (2.16).

Нам потребуется скоро некоторые свойства положительно определенных квадратичных форм. Приведем их здесь.

Квадратичной формой относительно вещественных переменных x₁,,x_n называется функция

где b_ij = b_ji - действительные числа. Считая x₁,,x_n координатами вектора   и введя симметричную матрицу  (называемую матрицей квадратичной формы ), функцию (2.18) можно переписать в виде:

где ( , ) - евклидово скалярное произведение,  .

Квадратичная форма   называется положительно определенной, если для любого вектора   имеем:

Покажем, что для положительно определенной квадратичной формы   всегда существуют два таких положительных числа ,, что для произвольного вектора   имеют место неравенства:

Действительно, функция  , будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве  , достигает на единичной сфере S своего минимума  и своего максимума :

Ясно, что числа  и  положительны. Из формул (2.21) следует, что для любого вектора   справедливы неравенства

умножая которые на  , приходим к соотношениям (2.20).

Перейдем теперь к построению так называемой функции Ляпунова.

Предложение 2.2.2 Пусть

- линейная однородная система уравнений c постоянными коэффициентами, причем все собственные значения матрицы  имеют отрицательные действительные части. Тогда существует положительно определенная квадратичная форма  , называемая функцией Ляпунова, производная которой в силу системы (2.22) удовлетворяет неравенству:

где  - положительное число, не зависящее от вектора  .

Доказательство. Будем считать, что система (2.22) есть скалярная запись векторного уравнения вида (2.11), т.е.

Решение уравнения (2.24) с начальными значениями   будем, как при доказательстве теоремы 2.2.1, обозначать через  ; тогда мы имеем:

(см. соответствующую формулу в доказательстве теоремы 2.2.1). Положим теперь

Мы имеем, в силу (2.25)

Так как каждая вектор-функция   удовлетворяет неравенству (2.14), то каждый несобственный интеграл в (2.27) сходится и, следовательно,   есть квадратичная форма относительно вектора  . Так как при    0 подинтегральное выражение в (2.26)положительно, то   > 0. Иными словами, квадратичная форма (2.26) положительно определена. Вычислим теперь производную  в силу системы (2.22). Для этого, согласно определению, мы проведем через точку   решение  , а затем вычислим производную при t = 0 от сложной функции  . Согласно предложению 2.2.1

так что

Таким образом, мы имеем:

Итак,

Из неравенств (2.20), однако, следует, что

и поэтому мы получаем неравенство:

Неравенство (2.23) доказано.

Теорема об устойчивости по первому приближению

Пусть

- положение равновесия автономной системы (2.8). Положим:

и причем y_i в качестве новых неизвестных функций. Произведя подстановку (2.28) в системе (2.8) и разлагая правую часть в ряд Тейлора в окрестности точки  , получим:

где R_i - члены второго порядка малости относительно y_i. Поскольку   есть положение равновесия системы (2.8), то

Далее, полагая

мы запишем систему (2.29) в виде:

Если в системе (2.31) отбросить нелинейные слагаемые R_i, то получается линейная система с постоянными коэффициентами

которая называется системой уравнений первого приближения для системы (2.8).

Теорема 2.2.2 Если все собственные значения матрицы A=(a_ij), элементы которой определены формулами (2.30), имеют отрицательные действительные части, то положение равновесия   системы (2.8) асимптотически устойчиво. Более того, можно указать такое положительное число , что при   имеет место неравенство

где r и  - положительные числа, не зависящие от  .

Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что положение равновесия   системы (2.8) совпадает с началом координат, т.е.   = 0. Предполагая, что   = 0, мы имеем:

и поэтому система (2.31) записывается в виде:

где

Пусть теперь   - функция Ляпунова соответствующей линеаризованной системы:

Вычислим производную   функции   в силу системы (2.33). Мы имеем:

Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет собой производную функции   в силу системы (2.34) и поэтому в силу предложения 2.2.2 справедливо неравенство (2.23), т.е.:

Поскольку точка   = 0 принадлежит открытому множеству  , в которой задана система (2.8), то найдется такое r > 0, что шар

принадлежит . Если взять b = r² ( взято из неравенства (2.20)), то эллипсоид

в силу неравенств (2.20), лежит в шаре S_r и тем более внутри области . Вторые производные  , будучи непрерывными функциями, ограничены в эллипсоиде (2.37) и поэтому в этом эллипсоиде:

Из неравенства (2.20), таким образом, следует, что

Так как   есть линейная форма относительно переменных x₁,,x_n, то

где l - некоторая константа. Итак, существует такое положительное число q, что при   мы имеем:

Выберем теперь положительное число c таким образом, чтобы было

Тогда из (2.35), (2.36), (2.38) вытекает неравенство:

если

Полагая  , перепишем это неравенство в виде:

Пусть   - внутренняя точка эллипсоида (2.39), т.е.

Решение системы (2.33) с начальными значениями   обозначим через   и положим:

Функция w(t) определена для всех тех значений t  0, для которых определено решение   и в силу (2.15), (2.40) она удовлетворяет условию

до тех пор, пока для нее выполнено неравенство

Точка   при всех t > 0 не может покинуть эллипсоид (2.41). Действительно, если предположить противное и обозначить черезt > 0 - то значение t, при котором она впервые попадает на границу эллипсоида (2.41), то мы получаем, что на отрезке 0  t < t точка  принадлежит эллипсоиду (2.41), и поэтому выполнено неравенство (2.42). Таким образом, на этом промежутке производная неположительна, так что w(t) невозрастает. Следовательно, c = w(t)  w(0) < c, что противоречиво.

Таким образом, решение  , а вместе с ним и функция w(t) определены для всех положительных значений t и для этих значений выполнено неравенство (2.42). Если   то w(t) > 0 и поэтому из неравенства (2.42) получаем:

Последнее неравенство дает:

Из этого неравенства, используя неравенства (2.20), мы получаем:

причем это верно, если только для   выполнено неравенство (2.41). В силу (2.20), из соотношения

следует неравенство (2.41). Таким образом, если выполнено неравенство (2.45), то верно неравенство (2.44). Извлекая из него квадратный корень, получим неравенство:

которое совпадает с неравенством (2.32), причем  , а  . Теорема доказана.

Положение равновесия   уравнения (2.9) называется вполне неустойчивым, если существует такое положительное число , что всякое решение   уравнения (2.9), начинающееся в точке   шара  , обязательно покидает этот шар и больше в него не возвращается, т.е. найдется такое положительное число  , что при t = T решение   определено, а для всех t > T, для которых это решение определено, оно удовлетворяет неравенству  .

Теорема 2.2.3 Если все собственные значения матрицы

имеют положительные действительные части, то положение равновесия   уравнения (2.9) является вполне неустойчивым.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы используем некоторые результаты, установленные в процессе доказательства предыдущей теоремы. При этом, как и раньше, будем считать, что   = 0. Наряду с уравнением (2.9) рассмотрим уравнение:

для которого точка  , очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 2.2.2. В процессе доказательства теоремы 2.2.2 было установлено, что для уравнения (2.46) существует функция Ляпунова  , удовлетворяющая неравенству:

(в левой части стоит производная в силу системы (2.46)) при условии (2.39). Выписывая левую часть этого неравенства в явном виде, получаем:

Другими словами:

где производная в левой части есть производная в силу системы (2.8). Это неравенство заведомо верно, когда выполнено условие (2.39), т.е.    c. Пусть теперь   - некоторая внутренняя точка этого эллипсоида (т.е.   < c). Положим:

Для функции w(t), согласно (2.47), выполнено неравенство

при условии, что w(t)  c. Так как    0, то w(t) > 0 и поэтому можно произвести следующие выкладки, исходя из неравенства (2.48):

Из последнего неравенства следует, что при возрастании t точка   непременно выйдет на границу эллипсоида (2.39). Покажем, что после этого она уже не вернется внутрь эллипсоида (2.39). Допустим противное, тогда найдется такое положительное значение t₁, что w(t₁) = c и при всех t, достаточно близких к t₁, выполнено неравенство w(t) < c. Из последних двух соотношений следует, что , а это противоречит неравенству (2.48), которое верно при t = t₁, так как w(t₁) = c.

Таким образом, доказано, что траектория  , где    0 - внутреняя точка эллипсоида (2.39), обязательно уходит из эллипсоида (2.39) и больше в него уже не возвращается. В силу (2.20), из неравенства (2.45) следует неравенство (2.41), так что шар (2.45) содержится в эллипсоиде (2.39). Ввиду этого из доказательства следует справедливость утверждения теоремы.