Доказательство и опровержение

Уже разбирая закон достаточного основания, мы говорили, что важнейшим условием правильного мышления является его доказательность, так как целью всей нашей познавательной деятельности является только достоверное, истинное знание. Однако, некоторые истины настолько очевидны, что их вряд ли приходится доказывать. Для того чтобы убедиться в том, что погода на дворе действительно холодная, не надо выстраивать цепочку обоснований, достаточно лишь выглянуть в окно, или же выйти на улицу. Тем не менее, во многих жизненных ситуациях нам приходится с необходимостью доказывать правоту своей точки зрения или же, наоборот, опровергать мнение оппонентов. Без доказательства не может быть ни науки, ни политической дискуссии; без системы доказательств невозможно выстроить судопроизводство и т.п. Кстати говоря, любые ссылки на авторитеты, без доказательств, являются признаком неразвитости мышления или того, что в обществе не все в порядке с точки зрения правовой и политической свободы. В логике издавна выработаны специальные механизмы и процедуры обоснования истинности наших знаний, рассматриваемые в теме, которая так и называется «Теория доказательства и опровержения». Начнем с того, что же представляет собой доказательство.

Доказательство – это логическая операция или совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо суждения с помощью других истинных, ранее доказанных и связанных с ним суждений.

Само слово «доказать» очень близко по своему значению к слову «убедить» и, тем не менее, это не совсем одно и то же, ибо убеждения людей вполне могут быть основаны на их вере, различного рода предрассудках и т.п. Легко убедить в чем бы то ни было невежественных людей, или тех, кто обладает относительно невысокой культурой логического мышления. Поэтому надо все же различать эти сходные во многом логические операции.

Структура доказательства. Независимо от конкретного содержания наших мыслей, от того, что, собственно говоря, мы доказываем, делаем ли мы это в обычной, повседневной жизни или же на научном диспуте, структура доказательства будет одной и той же. Иначе говоря, способ достижения достоверных, истинных результатов всегда один. Доказательство выстраивается из тезиса, аргументов и демонстрации.

Тезис – это суждение, истинность которого мы доказываем; это то, что надо доказать. В роли тезиса могут выступать математические теоремы, суждения об отдельных обстоятельствах преступления, те или иные научные положения и т.п.

Аргументы (их еще называют доводами или основаниями) – это суждения, посредством которых мы доказываем тезис. Важно иметь в виду, что в качестве аргументов могут использоваться только те суждения, которые уже были ранее доказаны и являются достоверными, истинными. Их потому и называют основанием, что они исполняют роль фундамента доказательства, отвечая на очень важный вопрос: с помощью чего доказывается тезис, посредством чего ведется его обоснование. В роли аргументов могут выступать различного рода математические аксиомы или ранее доказанные теоремы, те или иные эмпирические обобщения, законы науки, статистические данные, фактический материал, нормы права и многое другое.

Что же касается демонстрации, то под ней мы понимаем способ логической связи между тезисом и аргументами, то, как осуществляется доказательство тезиса. Обычно доказательство строится в виде одного или нескольких умозаключений, на основе которых тезис с логической необходимостью вытекает из аргументов. Так в уже приводившемся в рамках предыдущей темы примере: «Все металлы теплопроводны. Железо – металл. Сл., железо теплопроводно» - в роли тезиса выступает суждение «железо теплопроводно», который мы доказываем с помощью следующих аргументов – «Все металлы теплопроводны, а железо – металл». Демонстрацией же здесь является простой категорический силлогизм, построенный по первой фигуре.

Мы привели пример т.н. прямого доказательства, в котором тезис непосредственно обосновывается аргументами. Схематически это можно представить следующим образом: из аргументов а, b (в данном случае это две посылки) с необходимостью вытекает тезис с. Демонстрация в данном примере является истинной, так как здесь соблюдены и общие правила силлогизма и правила первой фигуры.

Однако, кроме прямого, существует и косвенное по форме доказательство. Это обусловлено тем, что мы не всегда непосредственно располагаем аргументами для доказательства того или иного тезиса, или же этих аргументов может быть недостаточно, а тезис с необходимостью надо доказать. Косвенное доказательство отличается от прямого тем, что здесь мы обосновываем, строго говоря, уже не истинность тезиса, а ложность антитезиса и таким образом, т.е. косвенно, доказываем искомый тезис. При осуществлении косвенного доказательства важно помнить о законе исключенного третьего, ибо, доказав ложность антитезиса, мы затем, в соответствии с этим законом, заключаем об истинности нашего тезиса, так как два противоречивых суждения не могут быть одновременно истинными. В зависимости от структуры антитезиса различают два вида косвенного доказательства – апагогическое и разделительное. Начнем с апагогического доказательства, которое еще называют доказательством от противного.

Апагогическое доказательство (методом от противного). Здесь в роли антитезиса выступает противоречащее тезису суждение. Если тезис мы обозначим а, то антитезис будет ā. Таким образом, в данном виде косвенного доказательства мы должны установить ложность противоречащего тезису суждения. Рассуждаем мы при этом примерно следующим образом: а – это тезис, который надо доказать. Предположим от противного, что наш тезис а – ложен и, следовательно, истинно не-а (ā). Из этого предположения истинности ā выводим затем такие следствия, которые противоречат аксиомам, ранее доказанным теоремам, просто известным положениям науки или же самой реальной действительности. В результате у нас получается строгая дизъюнкция « а ∨ ā⋅». Но при этом мы уже выяснили, что ā – ложно, значит, в соответствии с законом исключенного третьего, истинно будет его отрицание, т.е. а. Кстати говоря, такого рода доказательства «методом от противного» много раз встречались в школьном курсе математики при доказательстве ряда теорем.

Разделительное доказательство (методом исключения). Здесь в роли антитезиса, ложность которого надо обосновать выступает уже не отрицание тезиса, как это было в апагогическом доказательстве, а несовпадающие с тезисом члены дизъюнкции: А ∨ B ∨ С. Если А – это тезис, то антитезисы для него в этой дизъюнкции – B и С. Мы должны теперь установить ложность, а затем исключить все другие (кроме А) члены этой дизъюнкции. Вспомним разделительно-категорический силлогизм, ибо именно в форме его отрицающее - утверждающего модуса и выстраиваются рассуждения при данном виде косвенного доказательства:

Преступление могли совершить Иванов, Петров или Сидоров. У Иванова есть железное алиби, Петров в это время вообще был в другом городе. Поэтому преступление мог совершить только Сидоров.

Согласно схеме разделительно-категорического силлогизма это выглядит следующим образом: а ∨ b

_ā_ b

Этот вид доказательств хорошо знаком всем, кто увлекается чтением детективов, ведь именно его используют в своей деятельности все известные сыщики – от Эркюля Пуаро до Шерлока Холмса. Таким образом, в данном виде доказательства претендуют на истинность уже не два, как в апагогическом, а несколько положений. Истинность тезиса мы устанавливаем методом исключения, последовательно доказывая ложность всех членов дизъюнкции, кроме одного, искомого тезиса. Вспоминая правила разделительно-категорического силлогизма, заметим, что заключение здесь будет истинным лишь тогда, когда в первой, разделительной посылке, предусмотрены все возможные случаи, т.е., когда оно является полной дизъюнкцией. И в самом деле, не предусмотрев какой-то хотя бы один вариант, мы рискуем упустить из виду истинного виновника преступления, как в выше приведенном примере. Хотя, строго говоря, только прямое доказательство дает нам абсолютно достоверный вывод.

Чтобы наше доказательство было неопровержимым, будь оно прямым или косвенным, необходимо соблюдение ряда правил.

Правила (или требования), предъявляемые к доказательству. Так как любое доказательство построено из трех элементов – тезиса, аргументов и демонстрации, то и о правилах мы будем говорить применительно к каждому из них.