IV серия задач
Существует немалое количество задач, которые удобно решать, начиная «с конца».
Задача № 1.
Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положили на тарелку?
Ученики выполняют чертеж. На нем видно, сколько слив осталось в конце, когда три брата съели сливы. Поэтому предлагается начать решать задачу с конца.
8 слив – это 2/3 того, что осталось младшему, значит,
8 : 2 ∙3 = 12 (сл.) – осталось после среднего.
12 слив – это 2/3 того, что осталось среднему, значит,
12 : 2 ∙3 = 18 (сл.) – осталось после старшего.
18 слив – это 2/3 того, что оставила мама, значит,
18 : 2 ∙3 = 27 (сл.) – оставила мама.
Делается вывод, что, решая задачу «с конца», пришли к тому, что было в самом начале. Этот прием используется, когда в задаче известно число, полученное в конце выполнения каких-либо действий.
Задача № 2.
Мама купила яблоки. К обеду она взяла из них половину, а Катя взяла еще одно яблоко. Вечером мама взяла половину оставшихся яблок, а Петя взял еще 2 яблока для себя и для сестры. После этого осталось 2 яблока. Сколько всего было яблок?
Задача № 3.
В коробке лежали карандаши. Сначала из коробки взяли 50% карандашей, а затем 40% остатка. После этого в коробке осталось 3 карандаша. Сколько карандашей было первоначально?
Задача № 4.
Медведь в кошелке плюшки нес,
Но на лесной опушке
Он половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Шел, шел, уселся отдохнуть
И под «ку-ку» кукушки
Вновь половину плюшек съел
И плюс еще полплюшки.
Стемнело, он ускорил шаг,
Но на крыльце избушки
Он снова пол-остатка съел
И плюс еще полплюшки.
С пустой кошелкою – увы!
Он в дом вошел уныло…
Хочу, чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?
V серия задач
С помощью отрезков можно решить не любую задачу, т.е. для их решения необходим другой подход. А какой? Это может быть использование формул, схем, составление выражений, логические рассуждения.
Примеры решения задач через модель-множество.
Задача № 1.
Сколько было грибов, яблок и груш отдельно, если известно, что груш, яблок и грибов было 478 штук, яблок и грибов – 322 штуки, груш и грибов – 201 штука?
1) 322 + 201 = 523 (шт.) – это грибы и яблоки + грибы и груши
2) 523 – 478 = 45 (шт.) – грибы
3) 322 – 45 = 277 (шт.) – яблоки.
4) 201 – 45 = 156 (шт.) – груши.
Проверка: 156 + 277 + 45 = 478 (шт.) – всего.
Задача № 2.
В одной семье 3 брата. Когда их спросили, сколько им лет, то старший из них сказал: «Нам вместе 29 лет. Мне и Паше 18 лет, а Паше и Валентину вместе 16 лет». Сколько лет каждому из братьев?
Задача № 3.
В комнате 12 щенков, каждый из них шумный или кусачий. Кусачих щенков 8, а шумных – 9. Сколько среди них шумных и кусачих одновременно
Пример решения задач через составление выражений.
Задача № 1.
Три цыпленка и два гусенка стоят 99 к., а пять цыплят и четыре гусенка стоят 1 р. 83 к. Сколько стоят один цыпленок и один гусенок?
Ц. + Ц. + Ц. + Г. + Г. = 99 к.
Ц. + Ц. + Ц. + Ц. + Ц. + Г. + Г. + Г. + Г. = 1 р. 83 к. = 183 к.
1) 183 – 99 = 84 (к.) – стоят 2 цыпленка и 2 гусенка.
2) 99 – 84 = 15 (к.) – 1 цыпленок.
3) 99 – 15 ∙ 3 = 54 (к.) – 2 гусенка.
4) 54 : 2 = 27 (к.) – 1 гусенок.
Проверка: 3Ц. + 2Г. = 99 к. 5Ц. + 4Г. = 183 к.
3 ∙ 15 + 2 ∙ 27 = 99 5 ∙ 15 + 4 ∙ 27 = 183
II способ
1) 183 – 99 = 84 (к.) – стоят 2 цыпленка и 2 гусенка.
2) 84 : 2 = 42 (к.) – 1 цыпленок и 1 гусенок.
3) 99 – 84 = 15 (к.) – 1 цыпленок.
4) 42 – 15 = 27 (к.) – 1 гусенок.
Задача № 2.
На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма лет всех играющих составляет 80 лет. Все девочки были одногодками, одинакового возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что сумма числа лет играющих в одной и другой группах стали равными. Какого возраста были играющие?
Задача № 3.
Петя, Вася, Коля и Толя подсчитали после рыбалки свои трофеи. Толя поймал больше, чем Коля. Петя с Васей поймали рыбы больше, чем Коля и Толя. Петя и Толя вместе поймали меньше рыбы, чем Вася и Коля. Какое место занял каждый по количеству выловленной рыбы?
Задача № 4.
2 пакета молока и пачка творога стоят 16 рублей. А две пачки творога и пакет молока стоят 14 рублей. Что дороже – пачка творога или пакет молока и на сколько?
Задача № 5.
У Андрея и Бори вместе 11 орехов. У Андрея и Вовы – 12 орехов. У Бори и Вовы – 13 орехов. Сколько орехов у Андрея, Бори и Вовы вместе?
Задача № 6.
Три юных кенгуренка Кенг, Гур и Ру сидят на весах. Если с весов спрыгнет Кенг, то весы покажут 3 кг. Если спрыгнет Гур, то весы покажут 4 кг, а если спрыгнет Ру, то весы покажут 5 кг. Сколько весят все кенгурята вместе?
Задача № 7.
У Коли и Вани вместе 11 марок, у Коли и Саша – 12 марок, а у Вани и Саши – 13 марок. Сколько всего марок у Коли, Вани и Саши вместе?
Задача № 8.
Тане с Сашей вместе 14 лет, Саше с Петей – 20 лет, а Тане с Петей – 16 лет. Сколько лет Тане, Саше и Пете вместе? Сколько лет каждому из них?
Задача № 9.
Олег купил 4 книги. Все книги без первой стоят 72 р., без второй – 80 р., без третьей – 60 р., без четвертой – 58 р. сколько стоит каждая книга?
Пример решения задач с применением формул.
Задача № 1.
Подвал имеет длину 20 м, ширину 18 м и глубину 6 м. Сколько тонн картофеля можно в него заложить, если каждые 5 м3 весят 6 т и подвал будет заполнен не доверху, а на 2 м ниже потолка?
1) 6 – 2 = 4 (м) – высота заполнения картофелем.
2) 20 ∙ 18 ∙ 4 = 1440 (м3) – объем картофеля.
3) 1440 : 5 = 280 (раз) – по 6 т.
4) 288 ∙ 6 = 1728 (т) – всего.
Задача № 2.
В бассейн проведены 2 трубы. Через первую трубу втекает 40 ведер воды в минуту, а через вторую вытекает 840 ведер в час. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн заполнится за 15 часов. Сколько ведер воды вмещает бассейн?
Задача № 3.
Коты Тоша и Малыш обедают вместе с котёнком Яшей. Тоша ест вдвое быстрее Малыша, а Малыш – вдвое быстрее Яши. Яше дали 6 маленьких рыбок, а Тоше и Малышу – по 12 таких же рыбок. Тоша съел свою порцию за 3 минуты и затем помог Малышу закончить обед. После этого они стали ждать, когда же со своей порцией справится Яша. Сколько времени они ждали?
Задача № 4.
Собака погналась за лисицей, находящейся от нее на расстоянии 120 метров. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака – 350 м?
Задача № 5.
Коля заметил, что во время липового медосбора пчела вылетает из улья со скоростью 4 м/с и возвращается обратно через 7 мин. со скоростью 2 м/с. На каком расстоянии от улья расположена липа, с которой пчела взяла мед? Учесть, что на сбор меда с липы во время одного полета пчела затрачивает 1 мин.
Задача № 6.
Как трем человекам при помощи двухместного мотоцикла преодолеть расстояние 60 км за 3 часа? Vмотоцикла = 50 км/ч, а Vпешехода = 5 км/ч
Пример решения задач с помощью рассуждений.
Задача № 1.
Три подружки договорились купить к праздничному столу 12 пирожных. I купила 5 штук, II – 7 штук, а III внесла 12 рублей вместо пирожных. Как подружкам разделить между собой эти деньги, если цена пирожных одинаковая?
1) 12 : 3 = 4 (пир.) – должна купить каждая.
2) 12 : 4 = 3 (р.) – цена пирожных.
3) 5 – 4 = 1 (пир.) – лишнее купила I.
4) 1 ∙ 3 = 3 (р.) – должна получить I.
5) 7 – 4 = 3 (пир.) – лишних купила II.
6) 3 ∙ 3 = 9 (р.) – должна получить II.
Задача № 2.
Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова масса рыбы, он сказал: «Я думаю, что хвост ее весит 1 кг, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост. Какова масса рыбы?
Задача № 3.
В сельской школе учится одинаковое количество мальчиков и девочек. Однажды учитель принес в класс 234 ореха и разделил их. Каждому мальчику досталось по 5 орехов, а каждой девочке – по 4 ореха. Но так как девочки обиделись на такую несправедливость, учителю пришлось еще принести орехи и разделить их так, чтобы, в конце концов, всем досталось поровну – по 6 орехов. Сколько орехов принес учитель во второй раз?
Задача № 4.
2 чашки и 2 кувшина весят столько, сколько 14 блюдец. 1 кувшин весит столько, сколько 1 чашка и 1 блюдце. Сколько блюдец уравновешивают кувшин?
Задача № 5.
3 кубика и 1 раковина весят столько же, сколько 16 бусинок, а 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок. Сколько бусинок надо положить на чашку весов, чтобы уравновесить раковину?
Задача № 6.
У мамы было 36 конфет. Она разложила их в 5 пакетов (в I – 2, во II – 4, в III – 6, в IV – 8, в V – 10) и сказала детям: «Тому, кто сумеет распределить эти пакеты между тремя детьми поровну, я отдам оставшиеся конфеты». Догадалась только одна девочка. Как она распределила и сколько конфет получила за сообразительность?
Задача № 7.
Кукла стоит вместе с платьем 10 рублей. При этом кукла стоит на 9 рублей дороже платья. Сколько стоит кукла?
Задача № 8.
Кусок проволоки длиной 78 м надо разрезать на несколько частей длиной 12 см и несколько частей длиной 15 см, так, чтобы обрезков не было. Как это сделать?
Задача № 9.
Для похода 46 школьников приготовили шестиместные и четырёхместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и мест не осталось?
Задача № 10.
Имеется несколько груш, их меньше 15. Если их разделить между тремя детьми, то одна груша останется. Если их разделить между четырьмя детьми, то опять одна груша будет в остатке. Сколько груш было?
Задача № 11
В корзине лежит меньше 20 груш. Эти груши можно поровну разделить между 3 или 5 девочками. Сколько груш в корзинке?
Задача № 12
Возле лужицы отряд
Длинноногих лягушат.
Очень стройная шеренга,
По пять ровно – каждый ряд.
По два, по три, по четыре –
Как ни ставил командир,
Несомненно оставался
Лишним кто-нибудь один.
А сейчас в любой пятерке
Все довольны, все в восторге!
Ну, а сколько лягушат
Не в ряду, а в целом?
Свой расчет произведи
С правильным прицелом!
Задача № 13.
В классе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (Предполагается, что у каждого мальчика по 32 зуба, как у взрослых людей).
Задача № 14.
У Люси, Ани, Кати, Веры и Даны было три яблока и два персика. Что было у каждой девочки, если Люся и Аня купили одно и то же, Аня и Дана – разное, а Катя и Вера – одинаковое?
Пример решения задач на отношение величин.
Задача № 1.
Часы за каждые сутки убегают вперед на 3 мин. Их поставили точно. Через какое время стрелки часов будут снова показывать точное время?
Чтобы часы снова показали точное время, необходимо, чтобы часы убежали вперед на 12 часов.
12 ч = 60 мин ∙ 12 = 720 мин
Понадобится 720 : 3 = 240 (суток)
Ответ: часы снова покажут точное время через 240 суток.
Задача № 2.
Как надо расположить 16 палочек длиной 1 дм, чтобы они образовали прямоугольник наименьшей площади? Чему равна эта площадь?
Задача № 3.
Нарисуй прямоугольник с наибольшей площадью, сумма длин которого равна 12 см.
Задача № 4.
Попрыгунья-стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть каждых суток танцевала, шестую часть пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки стрекоза готовилась к зиме?
Задача № 5.
Сутки на планете Тибуки на 40 мин длиннее, чем сутки на Земле. На сколько неделя на Тибуки длиннее недели на Земле?
Задача № 6.
Вредного дядю Федю отправили за 7 верст киселя хлебать. На сколько километров и метров отправился дядя Федор, если верста равна 500 саженям, сажень равен 3 аршинам, аршин равен 16 вершкам, а вершок – 4 см?
Пример решения задач на приведение к единице несколько раз
Задача № 1.
100 кур съедают в 100 дней 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедают 10 кур за 10 дней при той же норме.
1. 100 : 100= 1 кг – съедает одна курица за 100 дней.
2. 1000: 100 = 10 г – съедает одна курица за 1 день
3. 10 г ∙ 10дн. = 100 г – съедает одна курица за 10 дней.
4. 100г ∙ 10 кур = 1000 г (1 кг) – съедают 10 кур за 10 дней
Ответ: 10 кур за 10 дней съедают 1килограмм зерна.
Задача № 2.
Два рыбака за 3 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают 3 рыбака за 2 часа ?
Задача № 3.
3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?
Задача № 4.
Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за двенадцать дней?