Числовые характеристики дискретной случайной величины

I. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений с.в. и вероятностей, с которыми эти значения принимаются. Обозначение М_ξ.

По определению М_ξ=x₁∙p₁+x₂∙p₂+x₃∙p₃+…+x_n∙p_n, т.е. М_ξ=

Математическое ожидание показывает среднее значение, которое принимает с.в.

Пример. ξ – число очков при 1 бросании игральной кости. Найти М_ξ.

Решение. Составим закон распределения с.в. ξ:

ξi	1	2	3	4	5	6
pi

Найдем М_ξ=1∙ +2∙ +3∙ +4∙ +5∙ +6∙ =3,5.

Пример. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Среди них 10 билетов дают выигрыш в 1000 руб., 20 билетов – дают выигрыш в 500 руб., 40 билетов – выигрыш 250 руб., 50 билетов – выигрыш 100 руб., 80 билетов – выигрыш 50 руб., 100 билетов – выигрыш 10 руб., 700 билетов не дают выигрыша. Найти математическое ожидание выигрыша для владельца одного билета.

Решение. Отразим условие задачи на схеме:

1000 билетов

10 билетов 20 билетов 40 билетов 50 билетов 80 билетов 100билетов 700 билетов

1000 руб. 500 руб. 250 руб. 100руб. 50 руб. 10 руб. 0 руб.

Введем с.в. ξ – возможный выигрыш владельца одного билета.

Составим закон распределения с.в. ξ:

ξi	0	10	50	100	250	500	1000
pi	0,7	0,1	0,08	0,05	0,04	0,02	0,01

Найдем средний выигрыш владельца одного билета:

М_ξ=0∙0,7+10∙0,1+50∙0,08+100∙0,05+250∙0,04+500∙0,02+1000∙0,01=1+4+5+10+10+10=40 (руб.)

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание константы равно самой постоянной.

М(С)=С, где С R

Доказательство. Закон распределения постоянной величины такой:

ξi	С
pi	1

Тогда М_ξ=С∙1=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

М(С∙ξ)=С∙М_ξ

Доказательство. Пусть с.в. ξ имеет закон распределения:

x1	x2	x3	…	xn
p1	p2	p3	…	pn

Тогда, с.в. С∙ξ получена умножением каждого значения с.в. ξ на С. Закон распределения С∙ξ:

Сx1	Сx2	Сx3	…	Сxn
p1	p2	p3	…	pn

По определению математического ожидания М(С∙ξ)=Сx₁∙p₁+Сx₂∙p₂+Сx₃∙p₃+…+Сx_n∙p_n=С∙(x₁∙p₁+x₂∙p₂+x₃∙p₃+…+x_n∙ p_n)=С∙М_ξ

Определение. Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина, полученная сложением всех значений с.в. X со всеми значениями с.в. Y при этом вероятности перемножаются.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.

М(ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n)=М_ξ1+М_ξ2+M_ξ3+…+M_ξn

Доказательство. Докажем это свойство для двух случайных величин, то есть М(ξ₁+ξ₂)=М_ξ1+М_ξ2.

Для простоты будем считать, что с.в. ξ₁ и ξ₂ принимают два значения.

ξ1:	x1	x2							ξ2:	y1	y2
	p1	p2								q1	q2

Исходя из определения суммы случайных величин, ξ₁+ξ₂ имеет закон распределения:

ξ1+ξ2:	x1+y1	x1+y2	x2+y1	x2+y2
	p1∙q1	p1∙q2	p2∙q1	p2∙q2

Тогда, М(ξ₁+ξ₂)=(x₁+y₁)∙p₁∙q₁+(x₁+y₂)∙p₁∙q₂+(x₂+y₁)∙p₂∙q₁+(x₂+y₂)∙p₂∙q₂= + = =

Определение. Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, полученная умножением всех значений с.в. X на все значения с.в. Y при этом вероятности перемножаются.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий случайных величин.

М(ξ₁∙ξ₂∙ξ₃∙…∙ξ_n)=М_ξ1∙М_ξ2∙M_ξ3∙…∙M_ξn

Доказательство. Докажем это свойство для двух случайных величин, т.е. М(ξ₁∙ξ₂)= М(ξ₁)∙М(ξ₂).

Будем считать, что с.в. ξ₁ и ξ₂ принимают два значения.

ξ1:	x1	x2							ξ2:	y1	y2
	p1	p2								q1	q2

Исходя из определения произведения случайных величин, ξ₁∙ξ₂ имеет закон распределения:

ξ1∙ξ2:	x1∙y1	x1∙y2	x2∙y1	x2∙y2
	p1∙q1	p1∙q2	p2∙q1	p2∙q2

М(ξ₁∙ξ₂)= М_ξ1∙М_ξ2

Пример. С.в. имеет закон распределения:

ξ:	1	3	5
	0,4	0,1	0,5

Найти М(3ξ), используя свойства математического ожидания. Составить закон распределения с.в. 3ξ и убедиться в правильности вычисления математического ожидания.

Решение. По свойству математического ожидания: М(3ξ)=3∙М_ξ=3∙(1∙0,4+3∙0,1+5∙0,5)=3∙3,2=9,6.

Составим закон распределения с.в. 3ξ, умножая каждое значение ξ на 3.

3ξ:	3	9	15
	0,4	0,1	0,5

Вычислим по определению математическое ожидание 3ξ: М(3ξ)=3∙0,4+9∙0,1+15∙0,5=9,6.

Пример. С.в. имеет закон распределения:

X:	-3	0	1	4
	0,1	0,3	0,4	0,2

Найти: М_x, P(x<0), P(x<-5), P(x>0), P(-1<x<3), M_y, где Y=2X-3.

Решение. По определению математического ожидания:

М_ξ=-3∙0,1+0∙0,3+1∙0,4+4∙0,2=0,9.

P(x<0)=P(x=-3)=0,1. P(x<-5)=0, так как с.в.X не принимает значения, меньшие –5. P(x>0)=P(x=1)+P(x=4)=0,6.

P(-1<x<3)=P(x=0)+P(x=1)=0,7.

Вычислим M_y по свойству математического ожидания.

M_y=M(2X-3)=M(2X)-M(3)=2M_x-3=2∙0,9-3=-1,2.

2. Математическое ожидание показывает среднее значение, которое принимает с.в.

Однако существуют случайные величины, которые имеют одинаковое среднее значение, но одна из них может изменяться в узких пределах, а другая – в более широких.

Например,

ξ:	-1	1							η:	-2	0	2

М_ξ=- + =0 М_η= + =0

Разброс с.в. ξ относительно среднего значения составляет 1 единицу, разброс с.в. η – 2 единицы.

1ед 1ед 2ед 2ед

-1 0 1 ξ -2 0 2 η

Существует числовая характеристика, которая характеризует разброс значений с.в. относительно среднего значения – это дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Обозначение: D_ξ=M(ξ-a)², где а=М_ξ

D_ξ=

При решении задач очень часто пользуются формулой:

D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)²

Доказательство: По определению дисперсии: D_ξ=M(ξ-a)². Раскроем квадрат разности и воспользуемся свойствами математического ожидания.

D_ξ=M(ξ-a)²=M(ξ²-2ξa+a²)=M_ξ²-М(2ξa)+M(a²)=M_ξ-2a·M_ξ+a²=M_ξ²-2M_ξ·M_ξ+(M_ξ)²=M_ξ²-(M_ξ)²

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю.

D(С)=0

Доказательство: D(С)=М(С²)-(MC)²=С²-С²=0.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(Cξ)=C²·D_ξ

Доказательство: D(Cξ)=М(Сξ)²-(M(Cξ))²=(применим свойства математического ожидания)=С²·M_ξ²-С²·(M_ξ)²=С²·(M_ξ²- (M_ξ)²)=C²·D_ξ.

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин. D(ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n)=D_ξ1+D_ξ2+D_ξ3+…+D_ξn или D(ξ₁-ξ₂-ξ₃-…-ξ_n)=D_ξ1-D_ξ2-D_ξ3-…-D_ξn

Доказательство: Докажем это свойство для дисперсии двух с.в., то есть D(ξ₁+ξ₂)=D_ξ1+D_ξ2.

D(ξ₁+ξ₂)=M(ξ₁+ξ₂)²-(M(ξ₁+ξ₂))²=M(ξ₁²+2ξ₁ξ₂+ξ₂²)-(M_ξ1+M_ξ2)²=

M(ξ₁²)+2M_ξ1ξ2+M(ξ₂²)-(M_ξ1)²-2M_ξ1·M_ξ2-(M_ξ2)²=(M(ξ₁²)-M_ξ1)²)+(M(ξ₂²)-(M_ξ2)²)+2M_ξ1·M_ξ2-2M_ξ1·M_ξ2=D_ξ1+D_ξ2.

III. Определение. Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии. Обозначение: σ=

Пример. С.в. X задана законом распределения:

X:	-3	0	1	4
	0,2	0,2	0,5	0,1

Найти: 1.D_x, σ_x. 2. С.в. Y=4X-3. Найти: D_y, σ_y.

Решение: 1. По определению дисперсии D_x=M_x²-(M_x)². Для вычисления дисперсии необходимо знать M_x и M_x².

M_x=-0,6+0,5+0,4=0,3.

Составим закон распределения с.в. X², возводя в квадрат значения с.в.X.

X2:	9	0	1	16
	0,2	0,2	0,5	0,1

Найдем M_x²=1,8+0,5+1,6=3,9.

D_x=3,9-0,3²=3,81.

Тогда среднее квадратическое отклонение σ_x= =

2. D_y удобно вычислить, используя свойства дисперсии.

D_y=D(4X-3)=D(4X)+D(3)=16·D_x+0=16·3,81=60,96.

Тогда, σ_y= .