3. Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной является случайная величина, принимающая значения из несчетного множества.

Например, ξ – срок службы телевизора до первой поломки (ξ>0), η – количество осадков, выпавших за год (η>0).

Также как и дискретная с.в, непрерывная с.в. имеет различные способы задания.

Способы задания непрерывной случайной величины

1. Функция распределения

Определение функции распределения для непрерывной с.в. такое же, как и для дискретной с.в.

Определение. Функция распределения F(x) – это вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее x: F(x)=P(ξ<x).

Свойства функции распределения.

1. F(-∞)=0, так как F(-∞)=P(ξ<-∞)=0.

2. F(+∞)=1, так как F(+∞)=P(ξ<+∞)=1.

3. F(x) – неубывающая

Определение. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, у которой функция распределения непрерывна на всей числовой оси.

Пример. Проверить, является ли данная функция функцией распределения. Если да, то построить ее график.

F(x)=

Решение. Проверим свойства функции распределения.

1. F(-∞)=0, 2. F(+∞)=1, 3. F(x) – неубывающая (см. рис.)

F(x)

1

1 2 3 x

Все свойства выполнены, то есть F(x) - функция распределения.

Пример. С.в. x с функцией распределения F(x)= не является непрерывной, так как x=-1 – точка разрыва функции F(x).

2. Плотность распределения

Определение. Плотность распределения – это производная функции распределения, то есть f(x)= .

Пример. Дана функция распределения непрерывной с.в.:

F(x)=

Найти плотность распределения.

Решение.

По определению плотности распределения: f(x)= =

f (x)

1

0 1 x

Связь между плотностью распределения и функцией распределения

Зная функцию распределения, можно найти ее плотность по формуле: f(x)= и наоборот, зная f(x), найдем функцию распределения как F(x)= .

Для непрерывной с.в. вероятность попадания ее в отрезок [a,b] (или интервал (a,b)) равна Р(а x b)=Р(x b)-Р(x a)=F(b)-F(a)= - =(по свойству определенного интеграла)= = .

Таким образом, Р(а x b)= =F(b)-F(a).

Свойства плотности распределения.

1. f(x) 0, так как по определению f(x)= и - неубывающая, то производная неубывающей функции

2. =1, так как =F(+∞)-F(-∞)=1-0=1.

Из свойства 2. следует, что площадь фигуры под кривой плотности распределения равна 1.

Пример. Дана функция распределения непрерывной с.в.:

F(x)=

Найти: 1) плотность распределения f(x), определив параметр а;

2) вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний ξ ровно 3 раза примет значение из интервала (0,25; 0,75);

3) изобразить графики функций распределения и плотности распределения.

Решение. 1. По определению плотности распределения: f(x)= =

Найдем параметр а из свойства плотности распределения: =1.

=1, = , 1+а=1, значит а=0.

Таким образом, f(x)=

2. Вероятность того, что в результате 4-х независимых испытаний ξ ровно 3 раза примет значение из интервала (0,25; 0,75), найдем по формуле Бернулли: Р₄(x=3)= р³q, где р – вероятность того, что ξ примет значение из (0,25; 0,75) в одном испытании. р=Р(0,25<x<0,75)= = = , значит, q= . Р₄(x=3)= р³q= .

3. Построим графики функции распределения и плотности распределения, если а=0.

F(x)= f(x)=

F(x)

1

0 1 2 x

f(x)

2

1

0 1 x