Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Непрерывная с.в. имеет те же самые числовые характеристики, что и дискретная.

1. Математическое ожидание показывает среднее значение случайной величины. Для непрерывной с.в. математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл: М_ξ=

Свойства математического ожидания, приведенные для дискретной с.в., справедливы и для непрерывных величин.

1. Математическое ожидание константы равно самой постоянной. М(С)=С, где С R

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(С∙ξ)=С∙М_ξ

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин. М(ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n)=М_ξ1+М_ξ2+M_ξ3+…+M_ξn

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий случайных величин.

М(ξ₁∙ξ₂∙ξ₃∙…∙ξ_n)=М_ξ1∙М_ξ2∙M_ξ3∙…∙M_ξn

II. Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Обозначение: D_ξ=M(ξ-a)², где а=М_ξ или D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)²

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю.

D(С)=0

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(Cξ)=C²·D_ξ

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин. D(ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n)=D_ξ1+D_ξ2+D_ξ3+…+D_ξn или

D(ξ₁-ξ₂-ξ₃-…-ξ_n)=D_ξ1+D_ξ2+D_ξ3+…+D_ξn

III. Определение. Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии. Обозначение: σ_ξ=

Пример. С.в. ξ задана функцией распределения:

F(x)= . Найти М_ξ и D_ξ.

Решение. 1. Для вычисления М_ξ= необходимо найти плотность распределения. f(x)= = .

М_ξ= = .

2. D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)². Вычислим M_ξ²= = . D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)²=1- .

Виды распределений непрерывных случайных величин и их числовые характеристики

1. Равномерное распределение

Случайная величина равномерно распределена на отрезке [а,b], если ее плотность равна:

f(x)= .

Кратко записывают следующим образом: ξ R(a,b).

Убедимся, что функция f(x) задает плотность распределения, то есть выполнено свойство =1.

=1.

Построим график плотности распределения.

f(x)

0 a b x

Функция распределения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке

[а, b], имеет вид: F(x)= .

График функции распределения следующий.

F (x)

1

0 a b x

Найдем числовые характеристики с.в., имеющей равномерное распределение.

М_ξ= = .

Таким образом, М_ξ= является серединой отрезка [а,b].

М_ξ

a b x

D_ξ=M_ξ²-(М_ξ)²= =

Таким образом, дисперсия с.в., равномерно распределенной на отрезке [a,b], вычисляется по формуле: D_ξ=

Пример. Время ожидания автобуса ξ (мин) распределено равномерно на [0;30]. Определить среднее время ожидания автобуса, дисперсию и вероятность того, что ждать придется не более 10 мин.

Решение. Найдем математическое ожидание М_ξ= = (мин).

Дисперсия равна D_ξ= = .

Вероятность того, что придется ждать не более 10 мин., вычисляется как P(0 x 10)= . Определим плотность распределения с.в., равномерно распределенной на [0;30]:

f(x)= . Тогда, P(0 x 10)= = .