B Аналогично вводится понятие компакта, правильного в напра
D
D
влении оси OX.
A2
P1
0 Рис.1 x
Примерами правильных компактов в направлении обеих осей являются, например, эллипс, круг, треугольник.
Теорема 1. Пусть функция f(x; y) интегрируема в прямоугольнике
и при любом
фиксированном x
существует интеграл
.
(1)
Тогда
,
т.е.
.
.
(2)
Заметим, что правую часть равенства (2) обычно записывают в виде
,
так,
что
.
(3)
Правую часть последнего равенства называют повторным интегралом.
Пусть выполнены условия теоремы. Согласно определению двойного интеграла имеем
,
где
- интегральная сумма для функции f(x;
y),
соответствующая произвольному разбиению
прямоугольника П
на любое конечное число квадрируемых
ячеек при любом выборе точек
этих ячеек, а
- диаметр разбиения Т.
Учитывая это,
возьмем в качестве Т
разбиение прямоугольника П
на прямоугольные ячейки
с
помощью прямых, параллельных осям
координат (см.Рис. 2), а в
качестве точек
в
этих ячейках возьмем
Y
ym=d
ym-1
yi
yi-1
y2
y1
c
0
a x1
xk-1
xk
xn-1
b=xn
x
Рис. 2
Площадь ячейки
равна
.
Это разбиение T
порождает соответственно разбиения T1
и T2
соответственно отрезков
и
:
,
.
Пусть
–
наибольшая из длин частичных отрезков
разбиения Т1
отрезка
,
- наибольшая из длин частичных отрезков
разбиения Т2
отрезка
и
-
диаметр ячейки
.
Очевидно,
.
Так как
,
то
.
(4)
Поскольку, далее
,
то из соотношения
,с
учетом (4) , следует, что
.
Последнее неравенство этой цепочки запишем подробнее в виде:
.
(5)
Зафиксируем теперь
разбиение
Т1
отрезка
так, чтобы было
,
а разбиение
T2
отрезка
будем неограниченно измельчать так,
что при этом
.
Так как
при
(в
силу (1)), то , переходя в (5) к пределу при
,
будем иметь
.
Последнее
неравенство справедливо для любого
фиксированного разбиения Т1
отрезка
такого, что
.
Таким образом,
,
а это и значит, что
,
т.е.
или
.
Замечание 1. Аналогично можно показать, что
(6)
при условии, что
существуют двойной интеграл
и
при любом фиксированном
определенный
интеграл
.
Из формул (3) и (6) при выполнение соответствующих условий получаем формулу изменения порядка интегрирования в повторном интеграле (в случае прямоугольной области):
.
(7)
Последнее соотношение заведомо имеет место, если функция f(x; y) непрерывна в прямоугольнике П.
Теорема 2 (общий
случай).
Пусть D
– правильный в направлении оси Oy
простой компакт, ограниченный линиями
x=a,
x=b,
y=1(x),
y=2(x),
где 1(x)
и 2(x)
– непрерывные на отрезке a;b
функции,
причем 1(x)
2(x)
на a;b
.Пусть, далее, функция fx;y)
интегрируема в D
и при любом фиксированном
существует определенный интеграл
.
(8)
Тогда
.
(9)
y=2(x)
y
d
D
с
0 a b x
y=1(x) Рис.3
Пусть выполнены
условия теоремы. Возьмем любой
прямоугольник П,
содержащий компакт D
и имеющий
ту же проекцию на ось Ox,
что и компакт D,
т.е. отрезок a;b.
Пусть отрезок
- проекция прямоугольника П
на ось Oy.
(см. Рис.3)
Введем в рассмотрение функцию
Проверим, что функция F(x;y) в прямоугольнике П удовлетворяет всем условиям теоремы1.
Функция F(x;y)
интегрируема на каждом из компактов D
и П\D,
так как на компакте D
- интегрируемая функция по условию, а
на компакте П\D
- функция F(x;y)
непрерывна, исключая быть может, точки
линий y=1(x)
и
y=2(x)
, имеющих нулевую площадь. Поэтому
.
Следовательно, по
свойству
аддитивности,
функция F(x;y)
интегрируема в П, причем
,
т.е.
.
(10)
Кроме того, при любом фиксированном функция F(x,y) интегрируема на , причем
=
,
т.е.
.
(11)
Применяя к функции F(x;y) на П теорему 1 и учитывая (11), получим :
.
(12)
Из (10) и (12) следует (9) .
Пример.
Вычислим интеграл
,
где область интегрирования D
ограничена линиями
y
Область
интегрирования D,
правильная в направлении обеих
осей, изображена на Рис.4.
Воспользуемся для
вычисления формулой (9), где
.
0 1 x
Рис.4
Имеем
Замечание
2. Пусть D
– правильный в направлении оси OX
простой
компакт (см.Рис.5), ограниченный линиями
,
где 1
(y)
и 2(y)
непрерывные на отрезке
функции,
1
(y)
2(y)
.
y
d
D
c
x
Рис.5
Пусть, далее,
функция f(x;y)
интегрируема в D
и при любом фиксированном
существует
определенный интеграл
.
Тогда
.
(13)
Если компакт правильный в направлении обеих осей, то (при выполнении соответствующих условий) имеют место обе формулы (9) и (13) и, следовательно,
.
(14)
Формула (14) называется формулой изменения порядка интегрирования в повторном интеграле.
Замечание 3. Если компакт D неправильный, то его стараются разбить (если это возможно) на конечное число компактов D1,D2,…,Dn, правильных в направлении той или иной оси, затем записывают равенство
, (15)
после чего каждый из интегралов в правой части (15) вычисляют по одной из формул (9) или (13).
Замечание 4. Для упрощения вычислений бывает удобнее иногда и правильный компакт D разбить на боле мелкие компакты. Так поступают, например, когда требуется изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, когда участок границы компакта D, состоящий из точек входа (выхода) задается различными уравнениями на различных его частях.
Например, пусть
компакт D
ограничен
линиями
(см.Рис.6) и функция f(x;y)
интегрируема
в
D
.
y
y=-x
y=x
1
D1
D2
-1
0 1 x
Рис.6
Тогда
.
С другой стороны,
,
Таким образом,
=
.
Упражнения
Вычислите следующие двойные интегралы:
1)
,
где
R2
2)
,
где D
– треугольник с вершинами
3)
,
где компакт
D
ограничена прямыми
и
гиперболой
.
2. Измените порядок интегрирования в следующих двойных интегралах:
