§2. Вычисление тройных интегралов

1. В простейших случаях (при удачном разбиении тела Q на ячейки и выборе точек P_k в этих ячейках) тройной интеграл

можно вычислить, используя определение тройного интеграла.

На практике, как правило, вычисление тройного интеграла (1) сводится к вычислению одного определенного интеграла и одного двойного интеграла. В итоге тройной интеграл вычисляется с помощью 3-х последовательных однократных (определенных) интегралов.

Справедлива следующая

Теорема. Пусть тело Q - правильный в направлении оси Oz простой компакт и D – его проекция на плоскость OXY. Пусть это тело ограничено поверхностями ( )и цилиндрической поверхностью с направляющей D и образующей, параллельной оси Oz.Пусть, далее, функции ₁(x, y) и ₂(x, y) непрерывны в D и функция непрерывна в Q. Тогда

. (2)

Замечание. Иногда внутреннее интегрирование удобнее вести по x или по y (в зависимости от строения тела Q).

Пример. Вычислим тройной интеграл

,

где тело Q ограничено поверхностями .

z  Воспользуемся формулой (2), учитывая, что Q -

z=2 правильный в направлении оси Оz простой компакт

y=x² y=1 (см.Рис.1).

y

x y=x²

Рис.1

В данном случае

Имеем



II. Замена переменных в тройном интеграле

Определение. Отображение F

(1)

тела на тело называется регулярным, если:

1. Это отображение взаимно-однозначно;

2. отображение F непрерывно-дифференцируемо в Q* ,т.е. (функции имеют в Q* непрерывные частные производные 1-го порядка

3. якобиан отображения F отличен от нуля и в Q*:

.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Если отображение F компакта Q* на Q регулярно, то

(2)

Замечание. Формула (2) имеет место и в случае, когда якобиан отображения (1) в отдельных точках, линиях или на поверхностях с нулевым объемом обращается в нуль, а само отображение не является взаимно-однозначным на границе тела Q.

Часто вычисление тройного интеграла значительно упрощается, если перейти от декартовых координат к цилиндрическим или сферическим.

1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Пусть x,y,z – декартовы координаты точки R³относительно заданной прямоугольной сиcтемы координат OXYZ. Цилиндрические координаты этой точки - это тройка чисел , , z, где ,  - полярные координаты точки P (проекции точки M на плоскость OXY), а z - обычная декартова апликата z точки M (см.Рис. 2).

z

M

z

y y

 

x P

x Рис.2

Декартовы координаты точки M связаны с цилиндрическими координатами этой точки равенствами:

. (3)

Якобиан отображения (3) равен  .

.

Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе от декартовых координат к цилиндрическим принимает вид:

. (4)

Пример. Вычислим тройной интеграл

, где

т ело Q ограничено поверхностями (см. Рис. 3).

 z

z=2

y

D

2z = x²+y²

0 y 2 x

х Рис.3

Тело Q –правильный в направлении оси Oz простой компакт. Его проекция на плоскость OXY есть круг:

.

Переходя к цилиндрическим координатам и используя формулу (4). будем иметь:

