II. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть x, y – декартовы координаты точки PD, а  и  - полярные координаты этой точки, так что:

. (10)

Якобиан отображения (10) равен 

.

Компакт D будем называть правильным в направлении лучей , если любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку P компакта D, пересекает границу этого компакта в двух точках P₁ и P₂. При этом точка P₁ называется точкой входа этого луча в компакт D, а точка P₂– точкой выхода этого луча из D.

y

y

₂

=F₂()

P₂

P₁

₁

₂ =F₁()

₁

0 x

Рис.5

Далее, пусть компакт D ограничен лучами и линиями =F₂() и =F₁(), состоящими соответственно из точек входа и точек выхода. (см. Рис. 5)

Формула (8) примет вид:

или

. (11)

Если полюс О принадлежит компакту D, то .

Пример 1. Вычислим двойной интеграл

, где R² .

 Компакт D является образом компакта (прямоугольника) при отображении:

,

якобиан которого равен .



y

1



D*

-1 0 1 x

0 1

Рис.6

Поэтому, переходя от декартовых координат к полярным, согласно формуле (11) будем иметь:

Пример 2. Вычислим двойной интеграл

,

где R² .

 Область интегрирования D есть замкнутый круг радиуса с центром в точке поскольку

.

y

Переходя к полярным координатам и учитывая, что при

любом фиксированном

0 1 x изменяется ( в пределах области ) от 0 до cos (так как

,

Рис. 7

будем иметь:

Упражнения

1.Вычислите , введя новые переменные .

2. Вычислите следующие двойные интегралы, переходя к полярным координатам:

1) , если компакт D ограничен окружностями .

2) , где компакт D ограничен окружностью и прямыми .

3) , где компакт D ограничен окружностями

4) , где компакт D ограничен линиями

.