18. Занятие № 18. Методы Рунге-Кутта.

О семействе методов Рунге-Кутта. Методы второго порядка

Недостатком исправленного метода Эйлера (25) и других методов более высоких порядков, основанных на пошаговом представлении решения у(х) задачи (1)-(2) по формуле Тейлора и последовательном дифференцировании уравнения (1) для получения тейлоровых коэффициентов, является необходимость вычисления на каждом шаге частных производных функции f(x,у).

Идея построения явных методов Рунге-Кутты p-го по­рядка заключается в получении приближений к значениям f(х_i+1) по формуле вида

(26)

где φ(х, у, h) — некоторая функция, приближающая отрезок ря­да Тейлора до р-го порядка и не содержащая частных производных функции f(х, у).

Так, полагая в (26) φ(х, у, р) = f(x, у) приходим к методу Эйлера (8), т.е. метод Эйлера можно считать простейшим при­мером методов Рунге-Кутты, соответствующим случаю р = 1.

Для построения методов Рунге-Кутты порядка, выше пер­вого, функцию φ(х, у, h) берут многопараметрической, и подби­рают ее параметры сравнением выражения (26) с многочленом Тейлора для у(х) соответствующей желаемому порядку степени.

Рассмотрим случай р=2. Возьмем функцию φ в (26) следующей структуры:

Ее параметры с₁, с₂, а и b будем подбирать так, чтобы записан­ная, согласно (26), формула

(27)

определяла метод второго порядка, т.е. чтобы максимальная ло­кальная ошибка составляла величину o(h³).

Разложим функцию двух переменных f(x + ah, у + bhf(x, у)) по формуле Тейлора, ограничиваясь линейными членами:

Ее подстановка в (27) дает

(28)

Сравнение последнего выражения с тейлоровским квадратичным представлением решения у(х) (22) с точностью до о(h³) равносильно сравнению его с выражением у_i+1 по формуле (25), т е. с исправленным методом Эйлера. Очевидно, чтобы (28) и (25) совпадали с точностью O(h³), от параметров нужно потребовать выполнение следующей совокупности условий:

(29)

Полученная система условий содержит три уравнения относительно четырех параметров метода. Это говорит о наличии одного свободного параметра. Положим с₂ = α(≠ 0). Тогда из (29) имеем:

В результате подстановки этих значений параметров в формулу (27) приходим к однопараметрическому семейству методов Рунге-Кутты второго порядка.

(30)

Выделим из семейства методов (30) два наиболее про­стых и естественных частных случая:

при α=1/2 получаем формулу

в котором узнаём метод Хойна (16), полученный ранее из других соображений;

при α = 1 из (30) выводим новый простой метод

(31)

который назовем методом средней точки.

Методы Рунге-Кутты произвольного и четвертого порядков

Любой метод из семейства методов Рунге-Кутты второго порядка (30) реализуют по следующей схеме. На каждом ша­ге, т.е. при каждом i=0, 1, 2,..., вычисляют значения функции

а затем находят шаговую поправку

прибавление которой к результату предыдущего шага дает при­ближенное значение решения у(х) в точке x_i+1 = x_i + h:

Метод такой структуры называют двухэтапным по количеству вычислений значений функции — правой части уравне­ния (1) — на одном шаге.

Анализ устройства методов Рунге-Кутты второго порядка позволяет представить, в какой форме следует конструировать явный метод Рунге-Кутты произвольного порядка. По аналогии с предыдущим для семейства методов Рунге-Кутты p-го поряд­ка используется запись, состоящая из следующей совокупности формул:

(32)

где к = 2, 3, …, р (для р-этапного метода). Многочисленные па­раметры с_k, а_к, b_kj, фигурирующие в формулах (32), подбираются так, чтобы получаемое методом (32) значение у_i+1 совпадало со значением разложения y(x_i+1) по формуле Тейлора с погрешностью O(h^p+1) (без учета погрешностей, совершаемых на предыдущих шагах).

Наиболее употребительным частным случаем семейства методов (32) является следующий метод Рунге-Кутты четвертого порядка относящийся к четырехэтапным и имеющий вид:

(33)

Не пытаясь воспроизвести выкладки, приводящие от общей записи семейства (32) при р=4 к конкретному методу (33), дадим геометрическое толкование последнего.

Обратив внимание на то, что шаговая поправка Δу_i, есть средневзвешенная величина поправок каждого этапа (с весовыми коэффициентами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 соответственно), проанализируем, как получаются эти поправки этапов. На первом этапе создается приращение соответствующее шаговой поправке Эйлера, — это очевидно. На рис 2 ему отвечает отрезок ВС вертикали х=x_i+1 (точка В получена ортогональным проектированием точки А на эту вертикаль).

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация одного шага методов Рунге-Кутта четвертого порядка

Так как точка М, благодаря свойству средней линии треугольника (см. ΔАВС), имеет ординату определяет значение f(M), служащее (согласно связи у=f(x, у) и геомет­рическому смыслу производной) тангенсом угла А в новом тре­угольнике с противолежащим этому углу катетом Далее, аналогично, подсчитав на вертикали x=x_i+1 откладываем следующую промежуточную (этапную) поправку Вычислив величину f(E)= являющуюся значением тангенса угла А во вновь получаемом ΔABG, имеем поправку последнего этапа. Итоговая шаговая поправка есть продукт усреднения с указанными коэффициентами четырех этапных поправок — длин отрезков ВС, BD, BE и BG. Точка Н будет стартовой для следующего, i+1-го, шага метода (33).

Заметим, что если первый этап, как уже упоминалось, соот­ветствует применению явного метода Эйлера, то четвертый — неявного, а второй и третий — уточненного методов Эйлера. По­следний имеет более высокий порядок точности, отсюда и боль­ший вес отвечающих ему значений этапных поправок.