22. Занятие № 22. Метод Милна четвертого порядка

Цель - ознакомить студентов с методом Милна четвертого порядка решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим еще один широко известный метод прогноза и коррекции — метод Милна.

Для вывода первой формулы Милна (т.е. формулы предска­зания) проинтегрируем данное уравнение (1) на промежутке [x_i-3, x_i+1] и в полученном интегральном равенстве

(26)

подынтегральную функцию f(x,у(х)) заменим первым интерпо­ляционным многочленом Ньютона Р₃(х), построенным по четы­рем узлам с предполагающимися уже извест­ными приближенными значениями

Тогда, после замены переменной на основании (26) имеем:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции, получаем первую формулу Милна (предсказания)

(27)

которую, очевидно, следует отнести к экстраполяционным.

Главный член локальной погрешности формулы (27) на­ходим интегрированием следующего (первого из неучтенных) слагаемого интерполяционного многочлена Ньютона. Именно:

Считая четвертые разности примерно одинаковыми, опустим ин­декс у функции f в записи в результате получаем сле­дующее приближенное представление решения в точке x_i+1 :

(28)

Вывод второй формулы Милна более прост. Проинтегрируем уравнение (1) теперь на промежутке [x_i-1, x_i+1] и в полученном равенстве

применим к интегралу простейшую формулу Симпсона. Имеем

(29)

Отбрасывая здесь остаточный член и заменяя значения решения y(x_i-1) и y(x_i;) известными приближенными значениями y_i-1 и y_i, а стоящее в правой части под знаком функции f неизвест­ное значение у(х_i+1) тем значением которое получается в результате вычислений по явной первой формуле Милна (27), приходим ко второй формуле Милна (уточнения)

(30)

являющейся интерполяционной.

Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуемся приближенным равенством где так же, как и в (28), — условная запись практически по­стоянных четвертых разностей. Исходя из точного равенст­ва (29), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (30) (возможно, с итерационной обработкой, см. за­мечание) приближенного значения y_i+1 можно приближенно охарактеризовать величиной , т.е.

(31)

Сравнение (28) и (31) дает:

следовательно,

(32)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1)-(2) методом Милна четвертого порядка, опреде­ленным формулами (27) и (30), на каждом i-м шаге следует вычислять величину

и сравнивать ее модуль с величиной ε > 0 допустимой шаговой погрешности. Если то за у(х_i+1) принимается получен­ное по второй формуле Милна значение у_i+1 (или его уточненное значение ); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближенном равенстве (32) постоянная 1/29 примерно вдвое меньше постоянной 19/270≈1/14 в аналогичном равенстве (24) для предиктор-корректорного метода Адамса четвертого порядка (22), что характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычисли­тельных затратах.