Лабораторная работа № 8 «Прогнозирование временного ряда на основе адаптивных моделей»
Задание:
Для зависимой переменной Y(t) построить адаптивную модель Брауна, параметры модели оценить с помощью метода наименьших квадратов.
Оценить качество построенной модели (провести исследования адекватности и точности модели).
Отобразить на графике результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна.
№ варианта |
Значения Y(t) при t |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
10 |
14 |
21 |
24 |
33 |
41 |
44 |
47 |
49 |
2 |
43 |
47 |
50 |
48 |
54 |
57 |
61 |
59 |
65 |
3 |
3 |
7 |
10 |
11 |
15 |
17 |
21 |
25 |
23 |
4 |
30 |
28 |
33 |
37 |
40 |
42 |
44 |
49 |
47 |
5 |
8 |
12 |
13 |
15 |
21 |
22 |
27 |
29 |
33 |
6 |
21 |
26 |
28 |
32 |
35 |
36 |
39 |
44 |
43 |
7 |
2 |
5 |
6 |
9 |
8 |
12 |
14 |
15 |
19 |
8 |
14 |
19 |
17 |
20 |
22 |
26 |
29 |
30 |
31 |
9 |
35 |
36 |
39 |
40 |
41 |
45 |
44 |
46 |
48 |
10 |
23 |
25 |
28 |
27 |
32 |
33 |
36 |
37 |
39 |
Решение типового примера
Для лучшего отображения особенностей изменения исследуемого показателя на конце периода наблюдения целесообразно использовать адаптивные модели, каждая из которых имеет определенный механизм приспособления к новым условиям. Общим для всех моделей этой группы является придание наибольшего веса последним наблюдениям при оценке параметров.
Для исследования динамики развития воспользуемся одной из таких моделей – моделью Брауна. Расчетное значение в момент времени t получается по формуле:
Yp(t) = a0 (t – 1) + a1 (t – 1) k (t = 1,2,...,N),
k – количество шагов прогнозирования (обычно k=1).
Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза E(t) = Y(t) – Yp(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:
a0(t)= a0(t – 1)+a1(t – 1)+E(t)(1 – β2),
a1(t)= a1(t – 1)+ E(t)(1 – β)2,
где β – коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1.
Такой процесс модификации модели в зависимости от ее текущих прогнозных качеств обеспечивает адаптацию к новым закономерностям развития. Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t = N).
Воспользуемся этой схемой адаптивного прогнозирования. Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК.
Таблица 6.1 – Оценка начальных значений параметров модели
t |
Y(t) |
t-tcp |
(t-tcp)2 |
Yt - Ycp |
(t-tcp)(Yt - Ycp) |
1,00 |
25 |
-2,00 |
4,00 |
-16,40 |
32,80 |
2,00 |
34 |
-1,00 |
1,00 |
-7,40 |
7,40 |
3,00 |
42 |
0,00 |
0,00 |
0,60 |
0,00 |
4,00 |
51 |
1,00 |
1,00 |
9,60 |
9,60 |
5,00 |
55 |
2,00 |
4,00 |
13,60 |
27,20 |
15,00 |
207,00 |
0,00 |
10,00 |
0,00 |
77,00 |
Используя данные таблицы, получим:
Ycp = 41,4 tcp = 3 a1(0) = 7,7 a0(0) = 18,3
Примем k = 1 и β = 0,6. Расчет первых двух шагов приведен ниже, остальные отражены в таблице 6.2:
t = 1 Yp(1) = a0(0) + a1(0)k = 18,3 +7,7 * 1 = 26,0,
E(1) = Y(1) – Yp(1) = 25 – 26,0 = –1,0 ,
a0(1) = Yp(1) + E(1)(1 – β2) = 26,0 – 1,0 * 0,64 = 25,36,
a1(1) = a1(0) + E(1)(1 – β)2 = 7,7 – 1,0 * 0,16 = 7,54,
t = 2 Yp(2) =a0(1) + a1(1)k = 25,36 +7,54 * 1 = 32,9,
E(2) = Y(2) – Yp(2) = 34 – 32,9 = 1,1,
a0(2) = Yp(2) + E(2)(1 – β2) = 32,9 +1,1 * 0,64 = 33,6,
a1(2) = a1(1) + E(2)(1 – β)2 = 7,54+1,1 * 0,16 = 7,72.
Таблица 6.2 – Оценка параметров модели
t |
Факт Y(t) |
a0(t) |
a1(t) |
Факт Yp(t) |
Отклонение E(t) |
0,00 |
- |
18,30 |
7,70 |
- |
- |
1,00 |
25 |
25,36 |
7,54 |
26,00 |
-1,00 |
2,00 |
34 |
33,60 |
7,72 |
32,90 |
1,10 |
3,00 |
42 |
41,76 |
7,82 |
41,32 |
0,68 |
4,00 |
51 |
50,49 |
8,05 |
49,58 |
1,42 |
5,00 |
55 |
56,27 |
7,49 |
58,54 |
-3,54 |
6,00 |
67 |
65,83 |
8,00 |
63,76 |
3,24 |
7,00 |
73 |
73,30 |
7,87 |
73,84 |
-0,84 |
8,00 |
76 |
77,86 |
7,04 |
81,17 |
-5,17 |
9,00 |
81 |
82,41 |
6,42 |
84,90 |
-3,90 |
Таким образом, на последнем шаге получена модель:
Yp(N+k) = 82,41 + 6,42k.
Оценка ее качества на основе остаточной компоненты E(t) представлена в таблице 6.3 и дает следующие результаты:
Таблица 6.3 – Оценка качества модели
t |
E(t) |
т. поворота |
E(t)^2 |
E(t)-E(t+1) |
[E(t)-E(t+1)]^2 |
E(t)*E(t+1) |
|E(t)|/Y(t)*100 |
1,00 |
-1,00 |
- |
1,00 |
-2,10 |
4,41 |
-1,10 |
4,00 |
2,00 |
1,10 |
1 |
1,21 |
0,42 |
0,18 |
0,75 |
3,24 |
3,00 |
0,68 |
1 |
0,46 |
-0,74 |
0,55 |
0,97 |
1,62 |
4,00 |
1,42 |
1 |
2,02 |
4,96 |
24,61 |
-5,03 |
2,78 |
5,00 |
-3,54 |
1 |
12,54 |
-6,78 |
45,98 |
-11,47 |
6,44 |
6,00 |
3,24 |
1 |
10,50 |
4,08 |
16,62 |
-2,71 |
4,84 |
7,00 |
-0,84 |
0 |
0,70 |
4,33 |
18,78 |
4,33 |
1,15 |
8,00 |
-5,17 |
1 |
26,74 |
-1,27 |
1,61 |
20,19 |
6,80 |
9,00 |
-3,90 |
- |
15,24 |
- |
- |
- |
4,82 |
45,00 |
-8,01 |
6,00 |
70,41 |
- |
112,73 |
5,92 |
35,68 |
p = 6; d = 1,6; Rs = 2,8.
Сопоставив эти значения с критическими уровнями, можно констатировать, что все свойства выполняются и, следовательно, построенная модель адекватна. Она имеет следующие точностные характеристики:
S = 2,81; EOTH = 3,96%.
Прогнозные оценки по модели получаются путем подстановки в нее значения k = 1 и k = 2, а интервальные – по тем же формулам что и для кривых роста:
Yp(10) = 82,41 + 6,42 * 1 = 88,82,
Yp(11) = 82,41 + 6,42 * 2 = 95,24,
U(1) = 3,65 U(2) = 3,86.
Таблица 6.4 – Прогнозные оценки по модели Брауна
Время t |
Шаг k |
Прогноз Yp(t) |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
10 |
1 |
88,82 |
85,17 |
92,47 |
11 |
2 |
95,24 |
91,38 |
99,10 |
Учитывая адекватность построенной модели, можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью 70% попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.
На рис 6.1 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна.
Рисунок 6 – Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна