Лабораторная работа № 9 «Прогнозирование временного ряда на основе arma-моделей»

Задание:

1. Проверить ряд Yt на нестационарность и интегрируемость не более, чем до 3-го порядка с помощью теста Дики-Фуллера.

2. Построить модель ARIMA(p,d,q) временного ряда Y_t порядка не выше, чем p = 2 и q = 2. (Лучшая модель выбирается из возможных как имеющая наименьшее значение R², наименьшее значение суммы квадратов остатков ∑ε² = ∑(ŷ_t – y_t)², наименьшее значение информационного критерия Акаике AIC).

3. Расчитать прогнозные значения по полученной модели на 1 и 2 шага вперед.

Решение типового примера

Исходные данные:

- данные наблюдений Y_t даны в таблице 9.1 (столбец Y_t);

- уровень значимости α = 0,05.

Таблица 9.1 – Данные наблюдений и результаты промежуточных расчетов

t	Yt	Yt-1	ΔYt	(ΔY)t-1	Δ2Yt	Ŷt ARMA(1,0)
1	2143	-	-	-	-	-
2	2174	2143	31	-	-	2143
3	2136	2174	-38	31	-69	2174
4	2312	2136	176	-38	214	2136
5	2262	2312	-50	176	-226	2313
6	2188	2262	-74	-50	-24	2263
7	2163	2188	-25	-74	49	2188
8	2172	2163	9	-25	34	2163
9	2135	2172	-37	9	-46	2172
10	2139	2135	4	-37	41	2135
11	2034	2139	-105	4	-109	2139
12	2077	2034	43	-105	148	2034
13	2059	2077	-18	43	-61	2077
14	2003	2059	-56	-18	-38	2059
15	1894	2003	-109	-56	-53	2002
16	1879	1894	-15	-109	94	1893
17	1710	1879	-169	-15	-154	1878
18	1770	1710	60	-169	229	1708
19	1585	1770	-185	60	-245	1768
20	1735	1585	150	-185	335	1582
21	1894	1735	159	150	9	1733
22	1753	1894	-141	159	-300	1893
23	1640	1753	-113	-141	28	1751
24	1677	1640	37	-113	150	1638
25	1737	1677	60	37	23	1675
26	1742	1737	5	60	-55	1735
27	1673	1742	-69	5	-74	1740

Продолжение таблицы 9.1

t	Yt	Yt-1	ΔYt	(ΔY)t-1	Δ2Yt	Ŷt ARMA(1,0)
28	1620	1673	-53	-69	16	1671
29	1493	1620	-127	-53	-74	1618
30	1529	1493	36	-127	163	1490
31	1549	1529	20	36	-16	1526
32	1646	1549	97	20	77	1546
33	1698	1646	52	97	-45	1644
34	1687	1698	-11	52	-63	1696
35	1721	1687	34	-11	45	1685
36	1762	1721	41	34	7	1719
37	1760	1762	-2	41	-43	1760
38	1660	1760	-100	-2	-98	1758
39	1629	1660	-31	-100	69	1658
40	1682	1629	53	-31	84	1627
41	1598	1682	-84	53	-137	1680
42	1553	1598	-45	-84	39	1595
43	1497	1553	-56	-45	-11	1550
44	1558	1497	61	-56	117	1494
45	1496	1558	-62	61	-123	1555
46	1489	1496	-7	-62	55	1493
47	1478	1489	-11	-7	-4	1486
48	1373	1478	-105	-11	-94	1475
49	1340	1373	-33	-105	72	1369
50	1409	1340	69	-33	102	1336
51	1516	1409	107	69	38	1405
52	1490	1516	-26	107	-133	1513
h = 1	Прогнозные значения					1487
h =2						1483

1) Проверка ряда Y_t на нестационарность. Построим график (t,Y_t) (рисунок 9.1)

Рис. 9.1 – График (t,Y_t)

На рис. 9.1 ясно проглядывается наличие нисходящей тенденции, что говорит о нестационарности временного ряда Y_t.

Проверим нестационарность временного ряда Y_t с помощью теста Дики-Фуллера. Необходимо оценить параметр λ уравнения

ΔY_t = λY_t-1 + ε_t,

где ΔY_t = Y_t – Y_t-1 являются первыми разностями ряда Y_t (таблица 9.1).

Будем использовать программный пакет Matrixer 5.1. Введем два вектора DY = ΔY_t и Yl = Y_t-1, с предварительно рассчитанными значениями (таблица 9.1), наберем в командном окне программы формулу DY: Y1 и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2 – Результаты оценки параметра λ

Из рис. 9.2 следует, что λ = -0,0082 и t-статистика равна -1,327 > t_крит = -1,95 (критическое значение при уровне значимости 0,05). Следовательно, гипотеза о нестационарности не отвергается.

Проверим на нестационарность ряд ΔY_t, предварительно рассчитав вто­рые последовательные разности Δ²Y_t = ΔY_t – ΔY_t-1 (таблица 9.1). Построим график (t,ΔY_t) (рисунок 9.3). Анализ рисунка 9.3 показывает, что временной ряд ΔY_t больше похож на стационарный.

Рисунок 9.3 – График (t,Yt)

Согласно тесту Дики-Фуллера, для оценки параметра λ₁ в уравнении Δ²Y_t = λ₁·ΔY_t–1 + ε_t1, введем два вектора D2Y = Δ²Y_t и DY1 = ΔY_t–1, с предварительно рассчитанными значениями (таблица 9.1), наберем в командном окне программы формулу DY: Y1 и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.4.

Рисунок 9.4 – Результаты оценки параметра λ₁

Из рис. следует, что λ₁ = –1,068 > 0 и t-статистика равна –7,498 < t_крит = –1,95 (критическое значение при уровне значимости 0,05). Следовательно, гипотеза о нестационарности отвергается.

Таким образом, временной ряд Y_t является интегрируемым первого порядка нестационарным временным рядом.

2) Построение модели нестационарного ряда Y. Построим автокорреляционную и частную автокорреляционную функции. Для этого введем вектор Y со значениями ряда Yt, наберем в командном окне программы формулу «acf! Y &pacf» и нажмем кнопку . Результат показан на рисунке 9.5.

Рисунок 9.5 – Автокорреляционная (а) и частная автокорреляционная (б) функции

Так как, согласно рисунку 9.5, значимо отличается от нуля только коэффициент частной автокорреляции α₁₁ для величины лага 1, т.о. делаем вывод о том, что ряд Y_t является реализацией стохастического процесса ARMA(1,0).

Y_t = α₀ + α₁·Y_t–1, с |α₁| > 1.

Для построения модели ARMA(1,0) наберем в командном окне программы формулу «boxjen! (1,0) Y» и нажмем кнопку .

В появившемся окне выбора метода нахождения решения (рисунок 9.6) следует выбрать метод (рисунок 9.7) и нажать кнопку .

Рисунок 9.6 – Окно выбора метода нахождения решения

Рисунок 9.7 – Выбор метода оптимизации

Построение ARMA осуществляется с помощью нелинейного метода наименьших квадратов. Соответствующие процедуры носят итерационный характер и могут продолжаться бесконечно долго, если не достигаются условия окончания процесса по точности получаемого решения. В этом случае следует задавать конечное число шагов итерационного процесса, либо принудительно останавливать процесс решения с помощью кнопки «Результаты» в окне процесса решения рисунке 9.8.

Рисунок 9.8 – Окно процесса решения с помощью нелинейного МНК

Результаты расчета модели ARMA(1,0) показаны на рис. 9.9.

Рисунок 9.9 – Результаты расчета модели ARMA(1,0)

Значимым является только коэффициент при Y_t–1 (графа «Знач.»).

Для проверки оптимальности модели ARMA(1,0) рассчитаем параметры моделей ARMA(2,0) и ARMA(2,1). Набирая в командном окне программы формулы «boxjen! (2,0) Y» и «boxjen! (2,1) Y» получим (рисунки 9.10 и 9.11):

Рисунок 9.10 – Результаты расчета модели ARMA(2,0)

Рисунок 9.11 – Результаты расчета модели ARMA(2,1)

Значимым в обоих моделях является только коэффициент при Y_t–1.

Сведем результаты расчетов параметров моделей ARMA(1,0), ARMA(2,0) и ARMA(2,1) в таблицу 9.2.

Таблица 9.2 – Результаты расчетов параметров моделей ARMA(1,0), ARMA(2,0) и ARMA(2,1)

Параметр	Модели ARMA
	(1,0)		(2,0)			(2,1)
	Значение	Значимость		Значение	Значимость		Значение	Значимость
α0	-10,553	0,844		-16,63	0,763		-14,17	0,548
α1	1,0049	0,000		0,930	0,000		1,548	0,025
α2				0,077	0,597		-0,541	0,426
β1							-0,663	0,277
R2	0,906			0,907			0,908
∑ε2	80,82			81,41			81,69
AIC	11,70			11,73			11,76

Значимыми во всех моделях является только коэффициент при Yt–1.

Значения критериев R², Σε², AIC отличаются незначительно, причем для модели ARMA(1,0) значения критериев Σε², AIC минимальны, что говорит об оптимальности модели ARMA(1,0).

Результаты расчетов по модели ARMA(1,0) показаны в таблице 9.1 (последняя графа) и на рисунке 9.12.

Рисунок 9.12 – Результаты расчетов по модели ARMA(1,0)

3) Расчет прогнозных значений по модели Y_t = –10,553 + 1,0049 ·Y_t–1 + ε_t.

Ŷ_Т(1) = –10,553 + 1,0049 Y_T = –10,553 + 1,0049 ·1490 = 1487,

Ŷ_Т(2) = –10,553 + 1,0049 Ŷ_Т(1) = –10,553 + 1,0049 ·1487 = 1483.

Результаты

1) Временной ряд Y_t является интегрируемым первого порядка нестационарным временным рядом.

2) Модель ARMA(1,0)

Y_t = –10,553 + 1,0049 Y_t–1 + ε_t.

3) Прогнозные значения:

Ŷ_Т(1) = –10,553 + 1,0049 Y_T = –10,553 + 1,0049 ·1490 = 1487,

Ŷ_Т(2) = –10,553 + 1,0049 Ŷ_Т(1) = –10,553 + 1,0049 ·1487 = 1483.