Лабораторная работа № 4 «Обнаружение гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов. Коррекция моделей на гетероскедастичность»

Задание:

Сгенерировать в MS Excel следующие данные:

X₁ = (порядковый номер + СЛЧИС())*10;

X₂ = 10/(порядковый номер + СЛЧИС()*3 + 0,1);

Y = 4/270*(X₁-10)+1+0,3*sin(3/2*ПИ()*X₁/274).

По данной зависимости построить уравнение регрессии и произвести тестирование на наличие гетероскедастичности, используя тесты ранговой корреляции Спирмена, Глейзера, Гольдфельда-Квандта.

Решение типового примера

Сформируем данные в Excel и построим уравнение линейной множественной регрессии. Для этого в пакете Анализ данных выберем Регрессия. Установим диапазоны наших переменных, уровень надежности примем 95%. Вывод итогов регрессионного анализа представлен на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Вывод итогов регрессионного анализа

Уравнение регрессии значимо т.к. Значимость F → 0. Скопируем остатки к сформированным данным.

1) Проверим полученную регрессию на гетероскедастичнсость, используя тест ранговой корреляции Спирмена.

Выдвигается гипотеза Н₀ о равенстве нулю ранговой корреляции Спирмена r. Выборка упорядочивается по фактору X₁ и рассчитываются ранги (во втором случае по X₂, причем ранжирование по e должно быть в порядке убывания).

Рассчитываем уравнение регрессии. В нашем случае:

Ŷ = 0,7575 + 0,018X₁ + 0,05X₂,

и вычисляются остатки e_t = Y – 0,7575 + 0,018X₁ + 0,05X₂.

Рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами фактора X₁ (X₂) и остатков е:

,

где D_i = разность рангов X и е.

Рассчитаем статистику , распределенную нормально N(0;1) при отсутствии гетероскедастичности, т.е. если |z| < z_кр = 1,96 при уровне значимости α = 0,05. В нашем случае гетероскедастичность в остатках отсутствует. Результаты представлены на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – Результаты теста ранговой корреляции Спирмена

2) Тест Глейзера основывается на более общих представлениях о зависимости стандартной ошибки случайного члена от значений объясняющей переменной. Например, зависимость может быть представлена в виде: σ_i = b₀ + b₁x_i^γ + ε_i.

Используя абсолютные значения остатков в качестве оценки σ_i оценивают данную регрессионную зависимость при различных значениях γ и выбирают наилучшую из них. Изменяя γ строят несколько моделей: γ =..., – 1, – 0,5, 0,5, 1, ….

Статистическая значимость коэффициента b₁ в каждом случае означает наличие гетероскедастичности. Значимость определяется сопоставлением t-статистики с квантилем распределения Стьюдента с n – k – 1 степенями свободы при уровне значимости, равном 0,05. Для этого используем функцию СТЬЮДРАСПОБР(0,05;27). Квантиль Стьюдента будет равен 2,0518. Если |t-статистика| > квантиля распределения Стьюдента, то в остатках присутствует гетероскедастичность.

Если для нескольких моделей будет получена значимая оценка b₁, то характер гетероскедастичности определяют по наиболее значимой из них.

Данные для теста Глейзера представлены на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – Данные для теста Глейзера

В нашем случае результаты регрессионных анализов характеризуют наличие гетероскедастичности (таблица 4.1).

Таблица 4.1 – Результаты регрессионного анализа

	tb1	P – значения
Для X^-1	-2,56283	0,016046
Для X^-0,5	-3,08513	0,004546
Для X^0,5	3,666748	0,001019
Для X^1	3,575588	0,001294

3) Для проведения теста Голдфелда-Квандта. Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины X₁. Далее отбрасывают среднюю треть упорядоченных наблюдений. Для первой и последней третей строятся две отдельные регрессии, используя ту же спецификацию модели регрессии. Количество наблюдений в этих подвыборках должно быть одинаково. Обозначим его l (в нашем случае l = 10). Берутся суммы квадратов остатков для регрессий по первой трети RSS₁ и последней трети RSS₃. Рассчитывают их отношение: GQ = RSS₃ / RSS₁.

Используем F-тест для проверки гомоскедастично (если статистика GQ удовлетворяет неравенству GQ > F_{α,l-m-1,l-m-1}), то гипотеза гомоскедастичности остатков отвергается на уровне значимости α.

Итоговые результаты представлены в таблице 4.2.

Таблица 4.2 – Итоговые результаты теста Голдфелда-Квандта

Параметр	Значение
RSS3	3,052514881
RSS1	0,002533783
GQ	1204,7262
F0,05,9,9	3,1788

Для коррекции модели на гетероскедастичность применим взвешенный МНК в предположении, что среднее квадратическое отклонение возмущений пропорционально значению фактора Х₁, для чего масштабируем исходные данные по Х₁ (рисунок 4.4).

Исходную модель преобразуем в модель . Оцениваем параметры преобразованной модели ₀, ₁ и ₂ обычным методом наименьших квадратов. С помощь MS Excel были определены коэффициенты уравнения регрессии преобразованной модели: b₁ = 0,017016; b₀ = 0,953898; b₂ = -0,00994, и уравнение регрессии примет вид:

(F=257,663719; R²= 0,950214579).

Рисунок 4.4 – Вспомогательный расчет для взвешенного метода наименьших квадратов

Видно, что значения соответствующих параметров уравнений отличаются друг от друга.

Тест Голдфельда-Квандта, примененный к преобразованной модели, выявляет гетероскедастичности ее возмущений: GQ-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера . Следует отметить, что значение GQ-статистики значительно улучшилось в сравнении с предыдущей моделью, что говорит о возможности использования взвешенного метода наименьших квадратов в устранении гетероскедастичности.