2. Интерполирование функций

2.1. Введение

Рассмотрим функции, принадлежащие линейному пространству: и определённые на множестве F. Рассмотрим также систему из линейно-независимых функций , , принадлежащих тому же пространству L, определённые на F.

Определение 1. Линейная комбинация функций ,

называется обобщенным многочленом по системе функций , порядка не выше n.

Определение 2. Система линейно-независимых функций называется системой Чебышева на F, если любой обобщенный многочлен имеет на F не более n различных нулей.

2.2. Интерполирование.

Постановка задачи. Пусть заданы значения аргумента , и значения функции , . Требуется найти такой обобщенный многочлен , значения. Которого при равны соответствующим значениям функции , то есть , .

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

.

Оценка остаточного числа интерполяционного многочлена Лагранжа.

Определение. Пусть для каждого i, и , то есть значение аргумента, называемые узлами интерполирования равноотстоящие и упорядоченные.

Пусть даны значения функции .

Тогда конечной разностью I порядка в точке i называется разность значений функции и .

Обозначение .

Конечной разностью порядка m в точке i, , называется разность конечных разностей порядка m-1 в точках i+1 и i:

.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих промежутков вперед

.

Оценка остаточного члена

.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих промежутков назад

.

Оценка остаточного члена.

.

Теорема. Интерполяционный многочлен по системе функций и узлам , для функции на существует и единственен тогда и только тогда, когда система функций является системой Чебышева на F.

2.2. Задачи.

1. Используя а) квадратичную интерполяцию с узлами в целочисленных точках, б) линейную интерполяцию, вычислить

Оценить погрешность найденного значения.

Ответ: а) б)

2. Используя а) квадратичную интерполяцию по узлам

б) линейную интерполяцию по узлам и , вычислить .

Оценить погрешность найденного значения.

Ответ:

3. Доказать, что при данных узлах интерполирования среди алгебраических многочленов порядка существует бесчисленное множество различных многочленов, удовлетворяющих условию:

4. при любых.Доказать, что все интерполяционные многочлены данного порядка n для данной функции не зависят от выбора узла интерполирования в том и только том случае, когда есть алгебраический многочлен порядка n.

5. Доказать, что

6.Получить формулу для оценки погрешности линейного интерполирования

7. Получить формулу для оценки погрешности квадратичного интерполирования в случае равно отстоящих узлов

8. Исходя из интерполяционного многочлена Лагранжа, получить формулу для линейного интерполирования в виде

9.Для функции найти интерполяционный алгебраический многочлен по узлам

Ответ:

10.Для функции по узлам найти алгебраический интерполяционный многочлен.

Ответ: L=X

11.Для функции найти алгебраический интерполяционный многочлен по узлам:

Ответ:

12.Дана таблица натуральных логарифмов

X	1,70	1,71	1,72	1,73
Y	0,5306	0,5365	0,5423	0,5481

Найти ln 1,717 с помощью линейного интерполирования и оценить погрешности найденного значения.

Ответ:

13. Дана таблица значений функций.

X	3,70	3,71	3,72	3,73	3,74
Y	40,447	40,854	41,264	41,679	42,098

Найти Y(3,725) с помощью линейного интерполирования и оценить погрешность значения.

Ответ:

14.Значения Y=lnX, отыскиваются с помощью пятизначных таблиц функции заданных с шагом с использованием линейного интерполирования. Оценить максимальную погрешность найденных значений.

Ответ:

15.Можно ли применять линейное интерполирование при использовании четырехзначных таблиц значений функции Y=sinX заданных с шагом при чтобы погрешность интерполирования не превосходила погрешности табличных данных.

Ответ: Можно.

16.Какое интерполирование: линейное или квадратичное имеет смысл применять в четырехзначной таблице мантисс десятичных логарифмов с шагом h=0,1при , чтобы погрешность интерполирования не превосходила погрешности табличных данных.

Ответ: Линейное.

17. Построить обобщенный интерполяционный многочлен для функции

если

Ответ: .

18. Оценить шаг четырёхзначной таблицы значений функции , чтобы она допускала:

а) линейную интерполяцию б) квадратичную интерполяцию

Ответ: а)

19. Оценить шаг четырехзначной таблицы значений функции , чтобы она допускала:

а) линейную интерполяцию,

б) квадратичную интерполяцию.

Ответ:

20. Доказать, что система функций: является системой Чебышева на любом отрезке .

21.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке

22.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке

23.Доказать, что система функций:

является системой Чебышева на любом отрезке π[

24.Функция задается таблицей

X	0,3	0,4	0,5	0,6
	0,23582	0,31084	0,38292	0,45149
X	0,7	0,8	0,9	1,0
	0,51607	0,57629	0,63188	0,68269

Какой степени интерполяционный многочлен надо построить, чтобы вычислить Ф.(0,48):

а) с тремя верными знаками;

б) Ф.(0,87): с пятью верными знаками?

Ответ: а) многочлен 1-го порядка;

б) многочлен 4-го порядка;

25.Интегральный синус задан таблицей:

X	0,28	0,38	0,48	0,58
	0,27878	0,37696	0,47390	0,56927
X	0,68	0,78	0,88	0,98
	0,66277	0,75411	0,84301	0,92919

Какой степени интерполяционный многочлен надо построить, чтобы вычислить:

а) Si(0,86) с двумя верными знаками;

б) Si(0,35) с пятью верными знаками?

Ответ: а) Многочлен 2-го порядка ;

б) Многочлен 3-го порядка

26. Функция задана таблицей

X	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	0,9735	0,9589	0,9411	0,9203	0,8967
X	0,9	1,0	1,1	1,2
	0,8704	0,8415	0,8102	0,7767

Используя интерполяцию многочленом второго порядка, вычислить .Определить количество верных знаков в каждом из этих результатов.

Ответ:

27.Функция , где - многочлен Лежандре 5-го порядка задается таблицей:

	0,78399	0,54713	0,27149	0,00088
	-0,22327	-0,36910	-0,41968	-0,37565

Вычислить , используя интерполяцию многочлена второго порядка.

Ответ:

28. Известны значения многочлена Эрмита третьего порядка в токах

	1,12	1,17	1,22	1,27
	-1,95507	-1,90839	-1,94415	-1,76162

Не вписывая самого многочлена, вычислить , используя таблицу конечных разностей.

Ответ: .

29. Функция Крылова задана таблицей

Х	2,70	2,80	2,85	3,0
	2,4725	2,6208	2,6862	2,8346

Вычислить , построив интерполяционный многочлен третьего порядка.

Ответ:

30. Таблица значений многочлена Эрмита четвертого порядка .

X	1,12	1,17	1,22	1,27
	-2,95288	-3,33961	-3,71507	-4,07595
X	1,32	1,37	1,42	1,47
	-4,41844	-4,73855	5,03253	5,29591

содержит одну опечатку. Найти ее, построив таблицу конечных разностей.

Ответ: .

31.Известно, что функция является многочленом, по таблице ее значений определить эту функцию:

X	1,50	1,55	1,60	1,65
	-1,12500	-0,92612	-0,70400	-0,45788
X	1,70	1,75	1,80
	-0,18700	0,10938	0,43200

Ответ: Многочлен третьего порядка по

32.Четвертая функция задана значениями

X	1,1	1,4	1,7
	0,88021	0,95229	0,98379

Найти с помощью интерполяционного многочлена.

Ответ:

33. Четвертая функция задана таблицей:

X	1,1	1,3	1,5	1,7
	0,11980	0,06599	0,03389	0,01621

Найти с помощью интерполяционного многочлена.

Ответ:

34.Функция Гудермана задана таблицей

X	0,21	0,26	0,31	0,36
	0,20847	0,25712	0,30515	0,36247
X	0,41	0,46	0,51
	0,39897	0,44459	0,48923

в которой есть опечатка. Найти ее, используя таблицу конечных разностей.

Ответ: