3.Аппроксимация функций в линейном нормированном пространстве

3.1. Введение.

Пусть и многочлен

Определение. Многочлен называется многочленом наилучшего приближения для функции , если на нем достигается точная нижняя граница по всем многочленам нормы разности функции и многочлена.

-многочлен наилучшего равномерного приближения (м. н.р. п.) для функции , если:

Теорема. М.н.р.п. существует и единственное, тогда и только тогда, когда система функций является системой Чебышева.

Теорема. Для того, чтобы был м. н. р. п. необходимо и достаточно, чтобы существовало по крайней мере значения таких, что выполняются равенства:

Определение - многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения (м. н. с. п.) для функции на множестве F , если выполняется равенство:

Теорема. м. н. с. п. существует и единственное на F.

Теорема. Если м.н.с.п.,то ортогональна ко всем многочленам :

Отсюда следует система уравнений для определения коэффициентов м. н. с. п.

(1)

3.2. Постановка задачи. Метод наименьших квадратов.

Пусть даны значения аргумента и значения функции и задана функция зависящая от параметра причем . Требуется найти такие значения параметров при которых величина равная сумме квадратов отклонений значений функции от значений функции по всем достигает наименьшего значения:

Величина рассматривается как функция переменной . Тогда для параметров получаем, используя необходимое условие экстремума, уравнение вида:

Отсюда:

(2)

Если является обобщенным многочленом то система уравнений (2) совпадает с системой (1), которая всегда имеет решение, так как ее определитель совпадает с определителем Грамма.

3,3. Равномерное приближение. Задачи.

1.Доказать, что алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения нулевого порядка для непрерывной функции имеет вид:

2.Найти многочлен наилучшего равномерного приближения нулевого порядка для функции .

Построить графики функции и многочлена

на отрезке , если имеет вид:

3.Доказать, что график алгебраического многочлена наилучшего равномерного приближения порядка не выше первого для непрерывной, сохраняющей выпуклость функций , совпадает со средней линией между хордой и касательной к графику функции, параллельной хорде.

Коэффициенты м.н.р. п. . Определяются по формулам:

4.Найти многочлен наилучшего равномерного приближения порядка не выше первого для функции .Построить графики .

5.Доказать, что если функция - четная, то м.н.р.п. для этой функции на симметричном относительно начала координат отрезке есть четная функция, а если - нечетная, то м. н. р. п. на тоже нечетная функция.

6. Для функции найти алгебраический м.н.р.п. порядка не выше второго. Построить графики:

Ответ:

7. Для функции найти м.н. р. п. порядка не выше второго. Построить графики .

Ответ:

8. Для функции на множестве значений найти алгебраический м. н. р. п. порядка не выше второго. Нанести значения на координатную плоскость.

Ответ:

9,Для функции найти м. н. р. п. вида

Ответ:

10.Среди всех приведенных многочленов третьего порядка найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке:

11. Среди всех приведенных алгебраических многочленов порядка принимающих заданное значение при причем найти многочлен наименее уклоняющийся от нуля.

Ответ:

12. Для данного, приведенного многочлена порядка

найти наименее от него уклоняющийся многочлен порядка не выше

Ответ:

В частности,