Лабораторная работа № 9 Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника

Цель работы: Овладение методом определения момента инерции тел; закрепление навыков обработки результатов измерений; определение ускорение свободного падения по кривой зависимости периода колебаний от положения точки подвеса маятника стержня.

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, измерительная линейка, секундомер.

Физическим маятником называется твёрдое тело, которое совершает колебания под действием своей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси Oz, не проходящей через центр тяжести тела (рис. 1) и называемой осью качания маятника.

Р ис. 1. Физический маятник: С — центр масс, О – точка подвеса, а – расстояние от точки подвеса до центра масс; т - масса.

Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс C. Точка O пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной оси качания, называется точкой подвеса маятника.

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина J, равная сумме произведений элементарных масс m_i на квадраты их расстояний от данной оси:

(1)

Е

l

сли силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент относительно оси качания маятника создает только его сила тяжести (момент силы реакции опоры равен нулю, так как сила реакции проходит через ось маятника). Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом , образованным прямой OC с вертикалью (рис. 1). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , равный по величине mgl sin . Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия ( = 0). Рассматривая  как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, видим, что векторы и направлены в противоположные стороны (рис. 1). Проекция вектора на ось Oz будет отрицательна: M=-mgasin .

Запишем для маятника уравнение движения, которое в соответствии с основным законом динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет вид:

(2)

или

(3)

где J — момент инерции маятника,  — его угловое ускорение, a=OC — расстояние от центра масс маятника до оси качания.

Последнее уравнение можно привести к виду:

(4)

При малых отклонениях от положения равновесия sin  и уравнение (4) примет вид:

(5)

Введя обозначение

(6)

придём к уравнению свободных гармонических колебаний

(7)

Его решение имеет вид:

 = ₀ cos(₀t+). (8)

Это означает, что физический маятник совершает колебательное движение, при котором угол отклонения  (t) изменяется по гармоническому закону (8) с амплитудой колебаний угла  ₀, и начальной фазой  . Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение физического маятника от положения равновесия изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (6), циклическая частота и период малых колебаний физического маятника равны:

(9)

Где l_пр = J/ (ma) — приведённая длина физического маятника.

Точка О´ на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины l_пр, называется центром качаний физического маятника. Точка подвеса О маятника и центр качаний О´ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится. Из формулы (9) следует, что для малых колебаний

(10)

Для определения собственного момента инерции J₀, т. е. момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции (точку С), используем теорему Штейнера:

J=J₀+ma², (11)

где J — момент инерции тела относительно оси качания маятника, J₀ — собственный момент инерции.

Сопоставим момент инерции маятника J₀ относительно произвольной оси O с моментом инерции материальной точки ma₀² такой же массы и относительно той же оси О. Расстояние а₀ от оси О до этой материальной точки, при котором их моменты инерции будут одинаковы:

J₀ = ma₀² (12)

называется радиусом инерции маятника относительно оси О.

Из (12) получаем, что радиус инерции маятника относительно оси О равен:

. (13)

С учетом этого определения выражение (11) - перепишется в виде:

J= ma₀² + ma² = m(a₀² + a²), (14)

Тогда приведенная длина маятника равна:

. (15)

Соответственно, период колебаний найдём из соотношения:

. (16)

Зависимость Т(а) (16) представлена на рис. 2, где по оси абсцисс — расстояние а от точки подвеса до центра масс.

Рис. 2. Зависимость Т(а) для физического маятника. Точки C, D, M, N — парные.

Минимальное значение приведенная длина и период колебаний принимают при а = а₀. Убедиться в этом можно, исследуя зависимость Т (а) на экстремум:

. (17)

При этом минимальные значения приведенной длины и периода колебаний равны, соответственно:

(18)

. (19)

Парные точки подвеса.

Из рис. 2 видно, что любая прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая кривую Т(а), дает пару точек подвеса (например, СD или MN) с одинаковыми периодами колебаний и, в соответствии с (9) — с одинаковыми приведенными длинами. Такие точки подвеса называются парными.

Выясним их свойства. Для этого перепишем формулу (15) в виде квадратного уравнения относительно а:

. (20)

Уравнение (20), при условии l_пр = const >2а₀, имеет два положительных корня а₁< а₀ и а₂ < а₀, которые соответствуют двум парным точкам подвеса по одну сторону от центра масс, но по разные стороны от точки а₀ (см. рис.2).

Используя свойства корней квадратного уравнения, получаем следующие свойства парных точек:

1) Для каждой из двух парных точек приведенная длина равна сумме их расстояний от центра масс:

a₁ + a₂ = l_пр . (21)

2) Произведение этих расстояний равно квадрату радиуса инерции маятника относительно центра масс:

a₁ + a₂ = a₀² . (22)

Свойство (22) позволяет найти радиус инерции а₀ и, зная массу маятника, определить по формуле (15) его момент инерции J₀, относительно оси, проходящей через центр масс.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Маятник закрепить на опорном отверстии в крайнем положении. Измерить время t для десяти колебаний (N=10) маятника в зависимости от расстояния а от точки подвеса до середины стержня. Амплитуда колебаний не должна превышать 10°. Измерения проводить через 5 сантиметров. Данные занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	а, м	N	t , c	T1, с

2. Вычислить период колебаний по формуле T₁ = t /N. Данные занести в таблицу 1.

3. На миллиметровой бумаге построить график зависимости

T₁= T₁(a) примерный вид графика T₁= T₁(a) показан на рис.3.

4. На полученном графике, для пяти произвольных значений периода Т, провести линии параллельные оси абсцисс, таким образом, чтобы они пересекали график T₁= T₁(a) в двух точках. Определить величины а₁ и а₂, как показано на рис.3, для каждого значения периода Т.

Рис. 3. Вид получаемой кривой зависимости периода колебаний от положения точки подвеса маятника.

Данные занести в таблицу 2.

Таблица 2.

№ п/п	а1, м	а2, м	l, м	T, c	g, м/с2	, м/с2	, м/с2	g= ± Δg, м/с2

5. Определить величину l по формуле l = а₁+а₂.

6. По формуле g = 4π² l/T² определить ускорение свободного падения g.

Определить:

среднее арифметическое = /n; доверительный интервал Δg = t_p.n.,

среднюю квадратичную ошибку:

;

где n — число измерений (n =5); t_p.n. — коэффициент Стьюдента; P = 0,95 - доверительная вероятность.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения колебания, периода, частоты, амплитуды, фазы, начальной фазы колебаний.

2. Дайте определение физического маятника. Объясните, почему ось качания физического маятника не должна проходить через центр инерции.

3. Приведите график зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния.

4. Выведите формулу (9).

5. Сформулируйте теорему Штейнера.

6. Запишите дифференциальные уравнения незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний.

7. Приведите решения уравнений незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний.

8. Дайте определение момента инерции твёрдого тела.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. – М. 2001 г.

2. Савельев И.В. Курс физики в 3-х томах. – М. 1982-1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М. 2004 г.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М. 1999 г.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики в 5-ти томах. – М. 1977-1986 г.