1.11. Виконання проекту з мінімальними витратами

Якщо виконання проекту вимагає сплати накладних витрат, таких, наприклад, як витрати, пов'язані з утриманням будівельного майданчика, то може виявитися вигідним зниження тривалості виконання проекту. Оскільки самі ці скорочення призводять до певних витрат, необхідно підвести баланс. Економія часу може бути досягнута тільки в тому випадку, якщо скоротити тривалість критичних робіт. Відкориговані значення повинні використовуватися тільки за цими критичними роботами, за якими величина економії накладних витрат перевищує вартість виконання роботи за критичний час.

Звернувшись до даних рис. 15 і табл. 4, визначимо мінімальну вартість проекту та відповідний час його виконання. Передбачається, що роботи можна виконувати або в стандартні, або у відкориговані терміни, але не в інтервалах між ними. Використовуючи мережевий графік на рис. 15 для стандартних термінів виконання робіт, перерахуємо всі критичні роботи та відповідні ньому показники максимально можливої економії часу та чистої економії вартості.

Таблиця 5

Розрахунок мінімальної вартості проекту для мережевого графіка, зображеного на рис. 15.

Робота	Число діб економії для відкоригова-ного часу	Додаткова вартість відкоригованого часу, грн.	Економія, грн.	Чиста економія, грн.	Пояснення
1-2	2	2500	2•1000	-500	Відкориговане значення не використовується
або 5-6	11	2500	1•1000	-1500	Відкориговане значення не використовується
або 5-6 і 4-6	3	5500	3•1000	-2500	Відкориговане значення не використовується
6-7	4	5250	4•1000	-1250	Відкориговане значення не використовується
7-8	2	1000	2*1000	+1000	Використовуються відкориговане значення. Зниження тривалості проекту з 39 до 37 діб.

Мінімальна вартість проекту рівна: 121500-1000=120500 грн.

Відповідний час його виконання складає 37 діб.

1.12. Невизначеність часу виконання операцій

У приведених вище методах аналізу передбачалося, що час виконання робіт точно відомий. Проте на практиці терміни виконання робіт зазвичай є досить невизначеними. Менеджер проекту може висунути деякі припущення про те, скільки часу буде потрібно для виконання кожної роботи, але не завжди може передбачити можливі труднощі або затримки виконання. Невизначеність термінів виконання робіт означає, що загальна тривалість проекту також схильна до невизначеності.

Вибір методу, що дозволяє врахувати цю невизначеність, залежить від типу проекту та природи невизначеності. Якщо можна визначити мінімальну і максимальну тривалість кожної роботи, то можна розрахувати й її очікувану тривалість, а також очікуваний час виконання всього проекту. При розрахунку очікуваного часу виконання проекту за алгоритмом PERT використовуються значення очікуваного часу виконання робіт (6), (7).

Якщо час виконання робіт схильний до впливу невизначеності, то великого значення приймають ті некритичні шляхи в графіці, для яких можуть змінюватися терміни виконання всіх робіт. На практиці може опинитися, що шлях, який на основі очікуваних значень термінів вважався некритичним, стає критичним відповідно до результатів методу визначення критичного шляху.

У основу методу PERT покладена передумова про те, що час виконання кожної окремої роботи апроксимується β-розподілом. Якщо це вірно, то розподіл часу виконання проекту в цілому є нормальним. Метод PERT може застосовуватися при аналізі конкретного проекту тільки у разі виконання даної передумови. Графік β-розподілу зображений на рис. 17.

Найменший можливий час виконання роботи i-j з урахуванням невизначеності обставин її виконання – це так званий оптимістичний час ( ), а найбільший можливий час її виконання – це так званий песимістичний час виконання роботи ( ). Піку розподілу відповідає найбільш вірогідний час виконання роботи ( ). Необхідно провести оцінку кожного з цих трьох термінів для всіх робіт, що входять в мережевий графік. Час виконання проекту можна знайти безпосередньо з графіка, використовуючи для цього очікувану тривалість робіт. Передбачається, що час виконання проекту в цілому розподілений за нормальним законом.

Щільність вірогідності

а m b Термін виконання

роботи

Рис. 17. Стандартний β-розподіл для тривалості виконання робіт

У припущенні, що терміни виконання робіт не залежать один від одного, середнє значення нормального розподілу визначається як сума математичних очікувань тривалості критичних робіт, а дисперсія – як сума їх дисперсій. Отриманий нормальний розподіл можна використовувати для оцінки вірогідності завершення проекту до заздалегідь встановленої дати.

Алгоритм методу PERT аналогічний аналізу мережевого графіка з фіксованими значеннями тривалості робіт:

1. Скласти список усіх робіт, що входять у проект, з вказівкою безпосередньо попередніх робіт, а також оптимістичного, найбільш вірогідного та песимістичного термінів їх виконання.

2. Побудувати мережевий графік.

3. У припущенні, що час виконання будь-якої роботи апроксимується β -розподіл, оцінити для кожної роботи очікуваний час її виконання та його дисперсію.

4. Використовуючи очікувані значення термінів виконання робіт, знайти тривалість проекту в цілому.

5. Визначити критичні роботи та критичний шлях.

6. За допомогою значень дисперсії для критичних робіт оцінити дисперсію очікуваної тривалості всього проекту.

Розглянемо наступний приклад. Процес створення та серійного виробництва нового вигляду продукту компанії «АВС» включає наступні роботи (табл. 6).

Визначимо очікуване число тижнів, необхідне для виконання проекту, а також вірогідність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів.

Таблиця 6

Список робіт і термінів їх виконання для проекту компанії «АВС»

Роботи	Яким роботам попереджає	Терміни виконання робіт, тижні
		оптимі-стичний, а	найбільш вірогідний, m	песимісти-ний, b
1-2	-	1,5	2	2,5
2-4	1-2	2	2,5	6
1-3	-	1	2	3
3-4	1-3	1,5	2	2,5
4-5	2-4, 3-4	0,5	1	1,5
5-7	4-5	1	2	3
4-6	2-4,3-4	3	3,5	7
6-7	4-6	3	4	5
7-8	5-7, 6-7	1,5	2	2,5

Очікувані терміни виконання робіт і відповідні дисперсії мають значення, які представлені в табл. 7.

Таблиця 7

Розрахунок очікуваних термінів виконання робіт і їх дисперсій

Роботи	Очікуваний термін виконання, тижнів	Дисперсія, тижнів кв.
1-2
2-4	3	16/36
1-3	2	4/36
3-4	2	1/36
4-5	1	1/36
5-7	2	4/36
4-6	4	16/36
6-7	4	4/36
7-8	2	1/36

Нижче приведений мережевий граф з вказівкою очікуваної тривалості кожної роботи (рис. 18).

Розрахунок очікуваного терміну виконання проекту в цілому проводиться звичайним способом. Як показано на рис. 18 і в табл. 7, виконання проекту передбачається здійснити за 15 тижнів. Критичними є роботи 1-2, 2-4, 4-6, 6-7 і 7-8. Приведемо для порівняння інші можливі шляхи графіка:

1-2, 2-4, 4-5, 5-7, 7-8 – займає 10 тижнів;

1-3, 3-4, 4-5, 5-7, 7-8 - займає 9 тижнів;

1-3, 3-4, 4-6, 6-7, 7-8 – займає 14 тижнів.

Рис. 18. Мережевий графік з вказівкою очікуваних термінів виконання проекту

Слід зазначити, що шлях {1,3,4,6,7,8} займає час, який менше виконання критичного шляху всього на один тиждень. Тому невеликі зміни часу виконання деяких робіт можуть привести до зміни критичного шляху.

Дисперсія очікуваного терміну виконання всього проекту визначається як сума дисперсій критичних робіт:

,

отже

.

Стандартне відхилення часу виконання проекту складе:

.

Вірогідність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів, можна знайти таким чином:

.

По таблиці стандартного нормального розподілу знаходимо:

.

Отже, вірогідність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів, рівна 16,6%.

1 Досягти економії, рівної 3 доби, не можна, оскільки в цьому випадку шлях 1-4-6-7-8 стає критичним. Тому загальна тривалість знижується тільки на одну добу. Якщо ж використовувати критичні значення одночасно для 5-6 і 4-6, досягається економія часу, яка дорівнює 3 доби. Проте, відповідна вартість стає рівною 2500+3000, тобто така економія часу не доцільна.

8