3.4. Агрегативное описание систем

Понятие «агрегат» в теории систем

Пусть T – фиксированное подмножество действительных чисел (множество рассматриваемых моментов времени), Z, U, Y, X – множества любой природы. Элементы указанных множеств назовем, как и ранее: tT – моментом времени; uU; входным сигналом; zZ - управляющим сигналом; yY – выходным сигналом; xX состоянием. Разница между входным сигналом и управляющим состоит в следующем – управляющий сигнал влияет на выходной непосредственно, а входной сигнал – опосредованно через состояние. Состояния, входные, управляющие и выходные сигналы, рассматриваемые как функции времени, обозначим x(t), u(t), z(t) и y(t).

Под агрегатом будем понимать объект <T,U,Z,Y,X,H,G>, где H,G – операторы (вообще говоря, случайные). Операторы переходов и выходов H и G реализуют функции x(t) и y(t) и представляют собой обобщение переходного отображения  и функции наблюдения . Структура этих операторов собственно и выделяет агрегаты среди прочих систем.

Предположение 1. Будем предполагать, что за конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов и вырабатывается конечное число выходных сигналов.

Операторы переходов и выходов агрегата

Операторы переходов. Наряду с состоянием x(t) будем рассматривать также точки x(t+0). Договоримся считать, что для любого t₁>t момент (t+0)(t,t₁]. Аналогично: x(t-0) означает, что t₀<t: (t-0)[t₀,t). Вид оператора H зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты т.н. особых состояний агрегата или не содержит.

Под особыми состояниями будем понимать его состояния в момент получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния агрегата будем называть неособыми.

Процесс функционирования агрегата. Агрегат функционирует следую­щим образом. В начальный момент времени t₀ заданы начальное состояние агрегата x₀ и начальное значение управляющего сигнала z₀.

Агрегат представляет собой математическую схему весьма общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы, конечные автоматы, всевозможные классы систем массового обслуживания, динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и некоторые другие объекты. С точки зрения моделирования агрегат выступает как достаточно универсальный переработчик информации – он воспринимает входные и управляющие сигналы и выдает выходные сигналы.

Кусочно-линейные агрегаты

Как показывает анализ моделирующих алгоритмов, можно добиться их су­щес­твенных упрощений, если рассматривать объекты более частные, чем агрегат общего вида, но сохраняющие возможность описания достаточно широкого класса реальных систем. Пра­ктически удобным для формализации широкой сово­куп­но­сти разнообразных процессов и явлений материального мира являются так называемые кусочно-линейные агрегаты (КЛА).

Понятие о кусочно-линейном агрегате. Для поставленных здесь задач достаточно считать, что на агрегат не посту­па­ют управляющие сигналы z, а поступают лишь входные сигналы u (это допущение не огра­ни­чивает общности, так как в качестве u можно рассматривать входной сигнал в ши­ро­ком смысле, в том числе и управляющий). Итак, мы рассматриваем агрегат как объект, который в каж­дый момент времени t характеризуется внутренним состоянием x(t), имеет вход и выход. На вход агрегат в изолированные моменты времени могут пос­ту­пать сигналы, с выхода могут сниматься выходные сигналы. Класс кусоч­но-линейных агрегатов выделяется с помощью конкретизации структуры множеств X, U, Y а также операторов H и G, которые представляют собой линейные пространства. Опишем данную конкретизацию.

Рассмотрим некоторое конечное или счетное множество I. Для определенности предположим, что I = {0,1,2,…}, хотя в конкретных задачах I может иметь и другой вид. Назовем I множеством особых состояний, а элементы I – особыми состояниями. Каждому особому состоянию I поставим в соответствие некоторое целое неотрицательное число ||||, которое назовем рангом основного состояния (смысл этой величины – размерность вектора -го состояния). Кроме того, каждому I поставим в соответствие выпуклый многогранник X^() (множество допустимых значений для состояния ) в евклидовом пространстве размерности ||||. Будем считать, что X = X^(), т. е. пространство состояний X можно представить состоящим из всевозможных пар вида ( ), где I, а x^() является вектором размерности |||| и принимает значения из многогранника X^(). Вектор x^() будем называть вектором координат. Если |||| = 0 для некоторого , то это означает, что в данном состоянии  координаты не определяются.

В виде КЛА могут быть формализованы многие реальные процессы: процессы передачи и обмена данными в сетях связи, системы массового обслуживания и материально-технического снаб­же­­­ния, процессы автомо­биль­ного движения на дорогах, разнообразные дис­к­рет­ные производ­ст­венные процессы, вычислительные системы и т.д. При этом всюду основные состояния агрегата указывают на качественно различ­ные состояния модели­руемых объектов. Дополнительные же координаты ха­ра­к­теризуют происхо­дящие количественные изменения и часто носят сугубо вспомогательный характер, «вбирая» в себя необходимую инфор­ма­цию о пре­дыстории модели. Следует отметить, что представление реальных систем в форме КЛА неоднозначно, поскольку неоднозначно могут быть выбраны сос­тояния агрегатов. Выбор же состояний определяется как целями иссле­дования, так и стремлением уменьшить размерность задачи. При этом всегда приходится идти на компромисс между точностью описания и полнотой получаемой информации с одной стороны и простотой модели – с другой.