3. Центр поверхні.

Хордою поверхні другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві її довільні точки.

Якщо існує точка, в якій усі хорди, що проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром поверхні.

Центр поверхні є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою поверхні їй належить також точка, симетрична даній відносно центра.

Розглянемо питання відшукання центра поверхні, заданої рівнянням (1). Як ми знаємо, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, згідно з пунктом 2), є виконання рівності

для довільного напрямку, який задається вектором . Тому для відшукання центра поверхні дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від її визначника

.

Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку поверхня має єдиний центр і її називають центральною. Прикладами таких поверхонь є еліпсоїд, одно- та двопорожнинний гіперболоїд, конус.

Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Поверхню у цьому випадку називають нецентральною. Прикладами поверхонь, які не мають жодного центра, є еліптичний та гіперболічний параболоїди, параболічний циліндр. Якщо система (4) має безліч розв’язків, то в залежності від рангу її матриці відповідні розв’язкам точки утворюють пряму або площину. Еліптичний та гіперболічний циліндри мають пряму центрів, а поверхня, яка вироджується у дві паралельні площини – площину центрів. Ця площина проходить паралельно до даних двох площин та знаходиться від них на однаковій відстані.

Приклад 1. Знайти центр поверхні, заданої рівнянням

.

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Маємо

,

звідки . Отже, задана поверхня має єдиний центр, який знаходиться у точці .

4. Рівняння дотичної площини та нормалі.

З гідно з попереднім, пряма буде дотичною до поверхні , якщо для рівняння , яке характеризує перетин прямої з поверхнею , виконуються умови . Нехай точка належить поверхні, тобто . Всі прямі, які проходять через точку та дотикаються до поверхні, утворюють площину, оскільки незалежно від напрямку вектора (рис. 5) вони перпендикулярні до сталого вектора . Справді, з рівності

,

яку можна записати у вигляді , випливає, що . Цю площину називають дотичною площиною до поверхні.

Знайдемо рівняння такої площини. Оскільки відомий вектор , який перпендикулярний до площини, а також точка , яка їй належить, то рівняння дотичної площини запишеться у вигляді

. (5)

Нормаллю до поверхні у деякій її точці, називають пряму, що проходить перпендикулярно до дотичної площини, проведеної у цій же точці.

Оскільки вектор паралельний до нормалі, що проведена у точці , то рівняння останньої запишеться у вигляді

.

Приклад 2. На поверхні знайти точки, в яких нормаль буде паралельною до осі .

Розв’язання. Оскільки вектор паралельний до осі , то його перші дві координати дорівнюють 0, тобто . Тому обчислюємо та із системи

знаходимо шукані точки: .

Відповідь. .