3. Класифікація поверхонь другого порядку.

Як було сказано вище, довільне рівняння поверхні відповідними перетвореннями можна звести до такого вигляду, коли воно не міститиме добутків різних змінних. Дослідимо, які різні поверхні може визначати рівняння

. (7)

Розглянемо ряд випадків.

1). – випадок, коли поверхня має єдиний центр.

Перетворимо (7) до вигляду

,

де , та зробимо заміни . Вони відповідають паралельному перенесенню системи координат у новий початок . Отримуємо рівняння

. (8)

• Якщо і одного знаку, то (8) визначає еліпсоїд. Наприклад, .

• Якщо одного знаку, а – протилежного, то (8) визначає так званий уявний еліпсоїд. Рівняння не має жодного дійсного розв’язку, а на поверхні нема жодної дійсної точки. Прикладом такої поверхні є .

• Якщо два з коефіцієнтів одного знаку, а третій і число протилежного, то (8) визначає двопорожнинний гіперболоїд. Наприклад, .

• Якщо два з коефіцієнтів і число одного знаку, а третій протилежного, то (8) визначає однопорожнинний гіперболоїд. Наприклад, .

• Якщо два з коефіцієнтів одного знаку, третій протилежного і , то рівняння (8) задає конус. Наприклад, .

• Якщо всі три коефіцієнти одного знаку і , то рівняння (8) задає так званий уявний конус. Поверхня містить єдину дійсну точку . Наприклад, .

2). Нехай , тобто рівняння поверхні має вигляд

. (9)

Розрізнятимемо випадки та . Якщо , то (9) перетворимо наступним чином:

,

де . Зробимо заміни . Вони відповідають паралельному перенесенню системи координат у новий початок . Отримуємо рівняння

. (10)

• Тепер, якщо одного знаку, то (10) визначає еліптичний, а якщо різних знаків – то гіперболічний параболоїди. Наприклад, .

Нехай . Рівняння

перетворимо наступним чином:

,

де . Зробимо заміни . Вони відповідають паралельному перенесенню системи координат у новий початок . Отримуємо рівняння

. (11)

Аналізуючи (11), робимо наступні висновки.

• Якщо коефіцієнти одного знаку, а вільний член протилежного, то (11) задає еліптичний циліндр (наприклад, );

• Якщо коефіцієнти і число одного знаку, то (11) задає уявний еліптичний циліндр (наприклад, );

• Якщо різних знаків і , то (11) задає гіперболічний циліндр (наприклад, ).

При рівняння (11) запишеться у вигляді і виражатиме

• при дві площини, що перетинаються, (наприклад, );

• при дві уявні площини, що перетинаються по дійсній прямій (наприклад, ).

3). Нехай . Рівняння поверхні матиме вигляд

. (12)

Якщо , то рівняння (12), як квадратне відносно , у залежності від знаку дискримінанту матиме один подвійний дійсний, два дійсних або два уявних корені. Тоді рівняння визначатиме

• дві площини, що співпадають (наприклад, );

• дві паралельні площини – дійсні або уявні, (наприклад, ).

Нехай один або обидва коефіцієнти відмінні від 0. Запишемо рівняння поверхні у вигляді , де , та зробимо заміни . Вони означають, що напрям осі не змінився, а в ролі нової осі вибрана пряма . Одержуємо рівняння , яке визначає

• параболічний циліндр (наприклад, );

Підсумовуючи, робимо висновок, що загальне рівняння (1) може задавати одну із 17 різних поверхонь.

242