Лекція 24. Головні напрямки поверхні другого порядку

План

1. Геометричне місце хорд, які в заданій точці діляться навпіл.

2. Геометричне місце середин хорд, які паралельні сталому напрямку.

3. Спряжені діаметральні площини та діаметри.

4. Конус асимптотичних напрямків. Асимптотичний конус.

5. Головні напрямки та головні діаметри поверхні. Характеристичне рівняння.

1. Геометричне місце хорд, які в заданій точці діляться навпіл.

Нехай задана поверхня другого порядку :

(1)

та точка . Встановимо, яку множину утворюють всі хорди даної поверхні, середини яких знаходяться в одній точці. Як нам відомо, умовою того, щоб точка була серединою хорди, паралельної до вектора , є виконання рівності

. (2)

Запишемо рівняння пучка прямих з центром у точці

(3)

та виключимо із системи (2), (3) змінні параметри та . Підставляючи значення в (2), дістаємо рівність

або

. (4)

Аналізуючи отримане рівняння, робимо висновок, що геометричним місцем хорд, які у заданій точці діляться навпіл, є площина (рис. 1). Очевидно, що при перетині даної площини із поверхнею ми отримаємо лінію другого порядку з центром у заданій точці.

У випадку, коли точка належить поверхні, ця площина дотикається до поверхні.

Приклад 1. Знайти геометричне місце хорд еліптичного параболоїда

із серединою у точці .

Розв’язання. Обчислюємо: , . Тепер, використавши рівняння (4), дістаємо, що шукане геометричне місце точок задається рівнянням .

Відповідь. .

2. Геометричне місце середин хорд, які паралельні сталому напрямку.

Нехай поверхня другого порядку задана рівнянням (1). Проведемо хорди, які паралельні деякій прямій із напрямним вектором . Дослідимо питання, яку фігуру утворюють середини всіх таких хорд. Знову використаємо той факт, що деяка точка буде серединою хорди , якщо виконується умова

.

Оскільки координати будуть змінюватись при переході від однієї хорди до іншої, то, перепозначивши їх змінними , та , дістаємо, що координати середин паралельних хорд задовольняють умову

або

.

Одержану рівність запишемо у вигляді

. (5)

Тепер ми бачимо, що якщо коефіцієнти біля змінних та одночасно не перетворюються в нуль, то рівняння (5) буде рівнянням першого степеня і визначатиме в просторі деяку площину (рис. 2).

3. Спряжені діаметральні площини та діаметри.

Нехай площина задана рівнянням (5) і утворена серединами всіх хорд поверхні другого порядку , що паралельні до деякого вектора . Якщо поверхня центральна, тобто система

має єдиний розв’язок, то він задовольнятиме рівняння площини . Це означає, що площина

(6)

завжди проходитиме через центр поверхні .

Цю площину називають діаметральною.

Дана назва стосується також випадків, коли поверхня не центральна, тобто не має жодного центра, або має їх безліч. В останньому випадку діаметральна площина або містить пряму центрів, або співпадає з площиною центрів, оскільки координати кожної точки, що є центром, задовольняють її рівняння.

Хорду, що проходить через центр поверхні, називають діаметром поверхні.

Нехай точка є центром поверхні. Тоді рівняння діаметра, паралельного до вектора , запишеться у вигляді

. (7)

Площину називають спряженою до цього діаметра (або до напрямку вектора ), а діаметр (6) – спряженим до цієї площини.

Приклад 3. Скласти рівняння діаметра еліпсоїда , паралельного до вектора , та спряженої до нього площини.

Розв’язання. Обчислюємо

.

Тепер, використовуючи рівняння (6) та координати заданого вектора, отримуємо або .

Для відшукання рівняння спряженого діаметра спочатку знаходимо центр поверхні, розв’язуючи систему (тобто точку ), а потім використовуємо рівняння (7). Отримуємо .

Відповідь. , .