Рекомендации по выполнению контрольной работы

Теория вероятностей и математическая статистика

Прежде всего, используя рекомендуемую литературу, необходимо изучить теоретический материал по темам:

Тема 2.3. Предельные теоремы Тема 2.4. Система случайных величин

Рекомендуемая литература

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2010.

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2010.

3. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие [Электронный ресурс] /В.С. Мхитарян [и др.].— М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013.— 336 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17047

Примеры решения типовых задач по модулю 3.

§ 5. Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. если – любое положительно число, то

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание a, сходится по вероятности к математическому ожиданию a, т.е. если – любое положительное число, то

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события, т.е. если – любое положительное число, то

Задача 13. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трёх; б) не меньше трёх.

Решение. а) Обозначим через Х дискретную случайную величину – число включенных ламп за время Т. Тогда

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Подставим ; ; =3, получим

.

б) События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Задача 14. Вероятность появления события в каждом испытании равна . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события в 800 независимых испытаниях:

Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожидание :

Воспользуемся неравенством Чебышева

Подставляя , , , получим:

Задача 15. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение. Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное ) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения :

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,

.

Найдем математическое ожидание :

Найдем дисперсию , учитывая, что

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом , т.е. третье требование выполняется.

Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.