§ 7. Условные законы распределения вероятностей составляющих двумерной дискретной случайной величины

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения,

Условным распределением составляющей Х при (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Х) называют совокупность условных вероятностей.

Аналогично определяется условное распределение Y.

Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляют соответственно по формулам

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Задача 20. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):

Y	Х
	3	6
10 14 18	0,25 0,15 0,32	0,10 0,05 0,13

Найти: а) условный закон распределения Х при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что Х=6.

Решение. а) Найдем условные вероятности возможных значений Х при условии, что Y=10:

Напишем искомый условный закон распределения Х:

	3	6

Контроль:

б) Найдем условные вероятности возможных значений Y при условии, что Х=6:

Напишем искомый условный закон распределения Y:

	10	14	18

Контроль:

§ 8. Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной случайной величины

Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причём переменная интегрирования соответствует другой составляющей:

Условной плотностью распределения составляющей Х при заданном значении Y=y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y:

Если условные плотности распределения случайных величин Х и Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.

Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (Х, Y), если в области, которой принадлежат все возможные значения (x, y), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.

Задача 21. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)

.

Найти: а) постоянный множитель ; б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Решение. а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:

.

Отсюда

Вычислим двойной интеграл:

Таким образом,

б) Найдем плотность распределения составляющих Х:

(в показателе выделили полный квадрат)

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и свернём оставшийся показатель степени в полный квадрат; тогда

Учитывая, что интеграл Пуассона окончательно получим плотность распределения составляющей Х:

Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y:

в) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:

Задача 22. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины в квадрате ; вне квадрата . Доказать, что составляющие Х и Y независимы.

Решение. Для этого докажем, что безусловные плотности распределения составляющих равны соответствующим условным плотностям.

Найдем плотность распределения составляющей Х:

Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y:

Найдем условные плотности распределения составляющих. Получим:

Таким образом,

Следовательно, составляющие Х и Y независимы, ч. т. д.

Задания для самостоятельной работы [2] № 426-429.