Лабораторная работа 10
Исследование переходных процессов в линейных цепях постоянного тока, содержащих сопротивления и ёмкость
Цель работы. Изучение заряда и разряда конденсатора в цепи, состоящей из последовательно включённых ёмкости C и резистора r. Исследование переходных процессов в схеме при смешанном соединении сопротивлений и ёмкости.
Пояснения к работе
При включении цепи рис.10.1, состоящей из последовательно включённых
ёмкости C и активного сопротивления r, на постоянное напряжение U источника переходный процесс в ней протекает согласно уравнению, составленному на основании второго закона Кирхгофа
,
или
,
(10.1)
где i- мгновенный ток,
uС - мгновенное значение напряжения на конденсаторе.
Решением линейного дифференциального уравнения (10.1) является выражение вида
,
(10.2)
где
- постоянная времени цепи.
Ток в цепи может быть найден путем дифференцирования уравнения (10.2) и умножения полученного результата на емкость конденсатора
.
(10.3)
На рис. 10.2,а показаны зависимости uC (t) и i(t) при включении цепи r, C на постоянное напряжение U. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, однако практически можно считать, что переходный процесс заканчивается по истечении времени tnn =(3...5) .
При разрядке емкости С на сопротивление r переходный процесс в цепи (переключатель П схемы 10.1 в нижнем положении) протекает согласно уравнению
.
(10.4)
При этом напряжение на емкости и ток
uC
= U e
,
(10.5)
i
= -
,
(10.6)
где = r C - постоянная времени цепи, зависящая только от ее параметров в послекоммутационном режиме.
На рис. 10.2,б изображены зависимости uC(t) и i(t) при разряде конденсатора через активное сопротивление. Отрицательный знак тока указывает на то, что действительное направление тока разряда будет противоположным его положительному направлению (рис. 10.1).
Электрическая цепь смешанного соединения сопротивлений и емкости рис. 10.3 при её включении на постоянное напряжение описывается системой уравнений
i1= i2 + iC , (10.7)
i1 r1 + i2 r2 = U , (10.8)
i2
r2
-
.
(10.9)
Искомые токи имеют принужденные и свободные составляющие:
i1пр=
;
i2пр
= i1пр
; iCпр
= 0 ;
i1св
= А
е
; i2св
= В
е
; iCсв
= D е
;
i1 = i1пр + i1св ; i2 = i2пр + i2св ; iC = iCпр + iCсв .
Корень характеристического уравнения р1 может быть найден из выражения входного операторного сопротивления цепи
Z
(p) = r1
+
,
откуда
p1
= -
, (10.10)
где
=
-
постоянная
времени цепи.
Решением системы уравнений (10.7) – (10.9) являются выражения вида
i1
=
, (10.11)
i2
=
, (10.12)
iC
= D
,
(10.13)
где А, В и D - постоянные интегрирования, которые находим из начальных условий.
При
t=0
,
,
.
Значения токов в момент коммутации
i1(0+)
=
,
i2(0+)
=
,
iC(0+)
= i1
(0+)
- i2(0+)
=
.
Таким
образом:
,
,
.
Окончательные выражения для токов с учетом постоянных интегрирования имеют вид
i1(t)
=
)
, (10.14)
i2(t)
=
,
(10.15)
iC(t)
=
.
(10.16)
На рис. 10.4 показаны зависимости токов ветвей цепи рис. 10.3 в функции времени. По окончании переходного процесса ток в конденсаторе отсутствует,
а токи в сопротивлениях становятся одинаковыми. Практически это наступает по истечении времени tnn = (3...5) .