1.4. Упражнения.

1.4.1. Найти экстремумы функций y=f(x):

а) f(x)=x²(1x );

б) f(x)= ;

в) f(x)=x2lnx.

1.4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

а) f(x)=x⁴2x²+3, [3, 2];

б) f(x)= , [1, 8];

в) f(x)=x2lnx, [0, 4].

1.4.3. Найти экстремумы функций z=f(x, y):

а) f(x, y)=x²xy+y²+9x6y+20;

б) f(x, y)=3x²x³+3y²+4y;

в) f(x, y)= (x+y²).

1.4.4. Решить задачу на условный экстремум:

а) x²xy+y²+x+y4  max(min),

x+y+3=0;

б) xy²  max(min),

x+2y=1;

в) x+y  max(min),

.

§2. Безусловный экстремум функций нескольких переменных

Всюду ниже мы рассматриваем задачу нахождения безусловного и условного экстремумов без ограничений, в общем случае.

Напомним, что если в задаче (1) отсутствует система ограничений, то задача называется задачей безусловной оптимизации.

2.1. Необходимые и достаточные условия

2.1.1. (Необходимое условие экстремума первого порядка) Пусть X^*R^п  точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве R^п и f(X) дифференцируема в точке X^*. Тогда градиент функции f(X) в точке X^* равен нулю:

f(X^*)=0, (2.1.1)

что равносильно системе

=0, i=1, 2, …, n. (2.1.2)

2.1.2. (Необходимое условие экстремума второго порядка) Пусть X^*R^п  точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве R^п и f(X) дважды дифференцируема в точке X^*. Тогда матрица Гессе, вычисленная в точке X^*, является положительно (отрицательно) полуопределённой:

H(X^*)0 (2.1.3)

(H(X^*)0) (2.1.4)

Точки, удовлетворяющие условиям (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) или (2.1.4), называются стационарными.

Условия 2.1.1 и 2.1.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f(X)=  точка X^*=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, =0  (3 , 3 )=0  (х₁, х₂)=0

(то есть выполняются условия (2.1.1) и (2.1.2)), а также

=6х₁, =6х₂, = =0, H(X*)= .

(то есть выполняются условия (2.1.3) и (2.1.4)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X₁ и X₂, в которых имеют место неравенства f(X₁)<f(X^*)<f(X₂): достаточно взять X₁=(0; ) и X₂=(; 0), где >0  сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

2.1.3. (Достаточные условия экстремума) Пусть функция f(X) в точке X^* дважды дифференцируема, f(X^*)=0 и H(X^*)>0 (H(X^*)<0). Тогда точка X^* является точкой локального минимума (максимума) функции f(X) на R^п.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (2.1.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу Гессе H(X).

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 1.6.1 или 1.6.2 из Главы I).

5. Вычислить значения функции в точках экстремумов.

Пример I. Исследовать функцию f(X)=3x₁x₂x₁  x₂ на безусловный экстремум.

Решение. Следуем вышеописанной схеме исследования функции на безусловный экстремум.

1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3x₂ 2x₁x₂, =3x₁2x₁x₂ .

2. Решая систему (2.1.2), найдём стационарные точки функции:



Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3x₂3x₁ + =0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (x₂x₁)(3x₂x₁)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. x₂x₁=0, то есть x₂=x₁. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3x₁3 =0, решениями которого являются x₁=0 и x₁=1. Тогда решениями системы являются Х₁=(0, 0) и Х₂=(1, 1).

Случай 2. 3x₂x₁=0, то есть x₂=3x₁. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение 3x₁+ =0, решениями которого являются x₁=0 и x₁=3. Тогда решениями системы являются Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу Гессе H(X):

=2х₂, =2х₁, = =32(x₁+x₂), H(X)=

4. Определим, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 1.6.1 или 1.6.2 из Главы I).

H(X₁)= .

Составим характеристическое уравнение и решим его:

=0  =0  (²9)=0  ₁=3, ₂=3.

Так как собственные значения матрицы H(X₁) имеют разные знаки, то матрица H(X₁)  знаконеопределённая (см. 1.6.2 из Главы I и 1.1.2), а точка X₁ не является точкой экстремума.

Для точки X₂ имеем

H(X₂)= , ₁=2<0, ₂= =3>0.

Так как угловые миноры матрицы Гессе знакочередуются, начиная с «», то она является отрицательно определённой и по 2.1.3 точка X₂ является точкой локального максимума.

Для точек X₃ и X₄ имеем H(X₃)= и H(X₄)= , и у них множества собственных значений {₁, ₂}={3+ , 3 } совпадают, а сами значения имеют различные знаки. Поэтому матрицы Гессе для этих точек являются знаконеопределёнными, и точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X₂ является точкой экстремума  максимума.

5. Значение функции в этой точке  f(X₂)=31111²1²1=1.

Заметим, что f(X)=x₁x₂(3x₁x₂), и при отрицательных x₁ и x₂, достаточно больших по абсолютной величине, f(X)>1. Например, f(2, 2)=(2)(2)(3(2)(2))=28>1. Найденная точка максимума имеет только локальный характер.

Ответ: (1, 1)  точка локального максимума, f_max(X)=1.

Пример II. Исследовать функцию f(X) на безусловный экстремум:

а) f(X)= 2 3 x₁2x₂+x₁x₂;

б) f(X)=2 +2 +3 2x₁+3x₂+2x₁x₃;

в) f(X)= +2  +4x₁+x₂2x₁x₂.

Решение. Действуем по схеме решения предыдущего примера.

а) 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =2x₁1+x₂, =4x₂2+x₁, =6x₃.

2. Решая систему (2.1.2), найдём стационарные точки функции:

 

Из последнего уравнения получаем x₃=0, а первые два рассматриваем как отдельную систему из двух уравнений с двумя неизвестными, и решаем, например, правилом Крамера:

= =7, = =6, = =5,

x₁= = , x₂= = .

Таким образом, X₀= ,  стационарная точка функции.

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу Гессе H(X):

=2, =4, =6, = =1,

= =1, = =0,

H(X)=

4. Определим, является ли стационарная точка точкой экстремума, и если да, то какой вид экстремума достигается в точке. Для этого исследуем на знакоопределённость матрицы Гессе, например, используя угловые миноры:

₁=2<0, ₂= =7>0, ₃= =42<0,

то есть ₁<0, ₂>0, ₃<0. Следовательно, H(X)<0 (матрица Гессе отрицательно определённая), и по 2.1.3 точка X₀= , является точкой максимума.

5. Вычислим значение функции в этой точке:

f_max=f(X₀)=f , = 2 30² 2 +  = .

б) Действуем по схеме решения задачи, опуская комментарии:

1. =4x₁2+2x₃, =4x₂+3, =6x₃+2x₁.

2.    x₂= .

Найдём x₁ и x₃:



= =5, = =3, = =1,

x₁= = , x₂= = , X₀= ,  стационарная точка.

3. =4, =4, =6, = =0, = =2, = =0, H(X)= .

4. ₁=4>0, ₂= =16>0, ₃= =80>0, H(X)>0 (матрица Гессе положительно определённая), и X₀= ,  точка минимума.

5. f_max=f(X₀)=f , =

=2 +2 +3 2 +3 +2  = .

в) Как и выше:

1. =2x₁+42x₂, =4x₂+12x₁, =2x₃.

2.    x₃=0.

Найдём x₁ и x₂:

 

= =2, = =9, = =5,

x₁= = , x₂= = , X₀= ,  стационарная точка.

3. =2, =4, =2, = =2, = =0, = =0, H(X)= .

4. ₁=2>0, ₂= =4>0, ₃= =8<0, то есть ₁>0, ₂>0, ₃<0, и матрица Гессе знаконеопределённая. Следовательно, X₀= , точкой экстремума не является.

Ответ: а) f_max= достигается в точке X₀= , ;

б) f_min= достигается в точке X₀= , ;

в) точки экстремума у функции не существует.

Пример III. Исследовать функцию

f(X)=2 + + +x₁x₃12x₂+5x₃+6

на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =4x₁+x₃, =3 12, =2x₃+x₁+5.

2. Найдём стационарные точки функции:

   x₂=2.

Отдельно ищем x₁ и x₃: = =7, = =5, = =20, x₁= = , x₂= = .

Таким образом, X₁= , , X₀= ,  стационарные точки функции.

3. Составим матрицу Гессе H(X):

=4, =6x₂, =2, = =0,

= =1, = =0,

H(X)= .

4. Определим, какие из стационарных точек X₁ и X₂ являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках.

Имеем H(X₁)= , и

₁=4>0, ₂= =48>0, ₃= =84>0,

и H(X₁)>0. Значит, точка X₁= ,  точка минимума.

Далее, H(X₂)= , и

₁=4>0, ₂= =48<0, ₃= =84<0,

то есть ₁>0, ₂<0, ₃<0, и H(X₁) является знаконеопределённой. Это означает, что точка X₂= , не является точкой экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только X₁ является точкой экстремума, причём является точкой минимума.

5. Вычислим значение функции в точке X₁:

f_min=f(X₁)=f , =2 +2³+ +  122+5 +6= .

Ответ: f_min= достигается в точке X₁= ,

2.2. Упражнение. Исследовать функцию f(X) на безусловный экстремум:

а) f(X)=2 +5 + 3x₁x₂2x₂+x₃;

б) f(X)=3 +2 + +x₁x₃+2x₂3x₃;

в) f(X)=2 +3 +4 2x₁x₂4x₂+3x₂;

г) f(X)=2 5 + 3x₁x₂2x₂+x₃;

д) f(X)=3 +2 + +x₁x₃+2x₂3x₃;

е) f(X)=2 +3 4 2x₁x₂4x₂+3x₂;

ж) f(X)=2 5  3x₁x₂2x₂+x₂;

з) f(X)=3 2  +x₁x₃+2x₂3x₃;

и) f(X)=2 3 4 2x₁x₂4x₂+3x₂;

к) f(X)= +2 +3 +x₂x₃27x₁+5x₂3;

л) f(X)=3 + +4 +2x₁x₂+4x₂48x₃+18;

м) f(X)=4 +5 +3 +4x₁x₃60x₂+4x₃2.