3.2. Условный экстремум при ограничениях типа равенств

В этом случае утверждения, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.2.1. Пусть X^*R^п  точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|_i(X)=0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.2.1.a)

условие допустимости решения:

_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n; (3.2.1.б)

Если при этом градиенты ₁(X^*), ₂(X^*), …, _m(X^*) в точке X^* линейно независимы, то ≠0.

При решении задач, как правило, рассматривают два случая: =0 и ≠0. В последнем случае в системе (3.2.1.а) полагают =1, при котором функция Лагранжа становится классической, система (2.2.1) принимает вид

=0, j=1, 2, …, n, (3.2.2.a)

_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n. (3.2.2.б)

3.2.2. Пусть X^*R^п  регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X^*, ^*) системы (3.2.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X^*, ^*), неотрицателен (неположителен):

d²L(X^*, ^*)0 (d²L(X*, ^*)0) (3.2.3.а)

для всех таких dxR^п, что

d_i(X^*)= =0 (i=1, 2, …, m). (3.2.3.б)

3.2.3. Пусть (X^*, ^*)  точка, которая является решением системы (3.2.1). Если в этой точке полный дифференциал второго порядка классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d²L(X^*, ^*)>0 (d²L(X^*, ^*)<0)

для всех таких dxR^п, что

d_i(X^*)= =0 (i=1, 2, …, m),

то точка X^* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум с ограничениями типа равенства (то есть найти для функции точки условных экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.2.1)

3. Решить систему (3.2.1) для двух случаев:

а) ₀=0;

б) ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого можно, в силу Замечания в пункте 2.1, применить критерии типа Сильвестра к функции d²L(X^*, ^*), или проверить это непосредственно, выразив из системы (3.2.3.б) любые m дифференциалов через остальные nm и подставив их в d²L(X^*, ^*). Если d²L(X^*, ^*)>0 при ненулевых dx, то точка X^* является точкой условного минимума, а если d²L(X^*, ^*)<0, то  точкой условного максимума. Если достаточные условия не выполняются, то проверяются необходимые условия второго порядка. Если они выполняются, то требуется дополнительные исследования; если нет, то точка X^* не является точкой условного экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

При проверке достаточных условий в условно-стационарных точках (при ₀=1) более эффективно воспользоваться непосредственной проверкой.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁+x₂extr

.

Решение. Действуем по вышеприведённой схеме. В нашем случае ₁(Х)= (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀(x₁+x₂)+₁( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =₀+2₁x₁, =₀+2₁x₂. Поэтому

(3.2.4)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) ₀=0.

Имеем ₁≠0, так как по 3.2.1 в точке локального экстремума X^* не все ₀ и ₁ равны нулю. Тогда x₁=0 и x₂=0. Но тогда (X^*)≠0, то есть X^*=(0, 0) не удовлетворяет ограничению задачи. Значит, условно-стационарных точек при ₀=0 нет.

б) ₀=1.

(3.2.4) 

Из первых двух уравнений системы получаем x₁= , x₂= , подставляя которые в третье, имеем =8  =  ₁= . Отсюда x₁= 2, x₂= 2, то есть (X₁, ₁)=(2, 2, ), (X₂, ₂)=(2, 2, )  две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных при ₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для этого исследуем полный дифференциал второго порядка d²L(X^*, ^*) классической функции Лагранжа как квадратичную форму от dx₁, dx₂.

Имеем

= =2₁, = =0.

Поэтому d²L=2₁d +2₁d .

Способ 1. Имеем H(X)= , для которого угловые миноры равны ₁(X)=2₁ и ₂(X)=4 . При ₁= , то есть для точки X₁=(2, 2), имеем ₁(X₁)= <0 и ₂(X₁)= >0. Это означает, что в точке (X₁, ₁)=(2, 2,  ) d²L отрицательно определена, и X₁  точка регулярного условного локального максимума. При ₁= имеем ₁(X₂)= >0 и ₂(X₂)= >0, и в точке (X₂, ₂)=(2, 2, ) d²L положительно определена, и X₂  точка регулярного условного локального минимума.

Способ 2. Имеем d=2x₁dx₁+2x₂dx₂. Выразим из d=0 dx₂ через dx₁:

2(2)dx₁+2(2)dx₂=0  4dx₁4dx₂=0  dx₂=dx₁

и подставим его в d²L: d²L=2₁d +2₁(dx₁)²=4₁d , то есть d²L=4₁d . Тогда

d²L(X₁, ₁)=d <0 при dx₁≠0 и

d²L(X₂, ₂)=d >0 при dx₁≠0.

Поэтому X₁  точка регулярного условного локального максимума, X₂  точка регулярного условного локального минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f(X₁)=2+2=4, f_min=f(X₂)=22=4.

Ответ: X₁=(2, 2)  точка регулярного условного локального максимума, f_max=4, X₂=(2, 2)  точка регулярного условного локального минимума, f_min=f(X₂)=4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁x₂extr

.

Решение. Имеем ₁(Х)=(Х)= Так как (Х)=(2x₁, 2x₂)≠0 для всех хM, то условие регулярности выполнено, то есть ₀≠0 и можно считать ₀=1. Далее действуем по схеме.

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, )=(x₁x₂)+₁( ).

2. Составим систему (3.2.1). Имеем =x₂+2₁x₁, =x₁+2₁x₂. Поэтому

3. Решаем полученную систему. Выразим из второго уравнения системы x₁ через x₂ (x₁=2₁x₂) и подставим его в первое уравнение:

x₂+2₁(2₁x₂)=0  x₂(14 )=0.

Заметим, что x₂0, так как в противном случае x₁=0, то есть x₁=x₂=0, что не удовлетворяет третьему уравнению. Поэтому

x₂(14 )=0  14  ₁= ,

откуда x₁= x₂, подставляя которое в третье уравнение системы, приходим к уравнению , то есть x₁= 2, откуда x₂= 2. При этом знаки у x₁ и x₂ не зависят от того, ₁= или ₁= . Таким образом, решением системы являются четыре точки: (X₁, ₁)=(2, 2, ), (X₂, ₂)=(2, 2, ), (X₃, ₃)=(2, 2, ), (X₄, ₄)=(2, 2, ).

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2₁, = =1.

Способ 1. Имеем H(X)= , ₁(X)=2₁, ₂(X)=4 1. Тогда ₁(X₁)=₁(X₂)=2 =1<0, ₂(X₁)=₂(X₂)=4 1=0, то есть ₁<0 и ₂=0, и для точек X₁ и X₂ достаточные условия второго порядка не выполнены, в то время, как необходимые условия второго порядка выполнены. Аналогично, ₁(X₃)=₁(X₄)=1>0 и ₂(X₃)=₂(X₄)=0. Таким образом, этот способ не даёт ответа на вопрос об экстремальности условно-стационарных точек.

Способ 2. Имеем d²L=2₁d +2dx₁dx₂+2₁d . Так как d=2x₁dx₁+2x₂dx₂, то d=0  dx₂=dx₁, и d²L=4₁d 2d . Тогда

d²L( )=d²L( )=4d <0 при dx₁≠0

Поэтому точки X₁ и X₂  точки регулярного условного локального максимума.

Далее, d²L( )=d²L( )=4 d 2d =0. Это означает, что достаточное условие условного экстремума в точках X₃ и X₄ не выполняется, в то время, как выполняется необходимое условие второго порядка. Поэтому требуется дополнительное исследование. Например, заметим, что функция f(X)=x₁x₂ непрерывна везде, в том числе и во множестве {(x₁, x₂)| }. Поэтому она достигает на этом множестве своих экстремумов, в том числе минимумов. В этих точках (где достигается условный минимум) обязательно выполняется необходимое условие. Следовательно, X₃ и X₄  точки условного минимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного максимума и в точках условного минимума:

f_max=f(X₁)=f(X₂)=(2)(2)=4, f_min=f(X₃)=f(X₄)=(2)( 2)=4

Ответ: X₁=(2, 2) и X₂=(2, 2)  точки регулярного условного локального максимума, f_max=4; X₃=(2, 2) и X₂=(2, 2)  точки регулярного условного локального минимума, f_min=4.