3.4. Условный экстремум при смешанных ограничениях

В этом случае утверждения, 3.1.1  3.1.4 остаются без изменения.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.4.1)

3. Решить систему (3.4.1) для двух случаев:

а) ₀=0;

б) ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств в точке X^*;

2) если l=n и >0 для всех iI_a, то в точке X^*  локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iI_a, то в точке X^*  локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X^*, ^*):

d²L(X^*, ^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.4.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.4.2). Если d²L(X^*, ^*)>0 (и 0), то в точке X^*  условный локальный минимум. Если d²L(X^*, ^*)<0 (и 0), то в точке X^*  условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X^* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)= extr

Решение. Имеем

₁(Х)= , ₂(Х)=

Далее действуем по вышеприведённой схеме:

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀( )+₁( )+₂( ).

2. Составим систему (3.4.1). Имеем

=2₀x₁+2₁x₁+2₂x₁=2x₁(₀+₁+₂),

=2₀(x₂4)+2₁(x₂+4)+2₂x₂.

Поэтому

3. Решим систему для двух случаев:

a) ₀=0. Система принимает вид

а.1) x₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x₂=0, а второе и последнее дают ₁=₂=0, то есть ₀=₁=₂=0, что невозможно.

а.2) x₁≠0. Тогда ₁+₂=0 и ₁=₂≠0 и второе уравнение даёт ₁(x₂+4x₂)=0, то есть 4₁=0, что невозможно. (Здесь тот аргумент, что ₁ и ₂ имеют разные знаки, не уместен, так как ₁ соответствует ограничению-равенству, а ₂  ограничению неравенству.)

Таким образом, условно-стационарных точек при ₀=0 нет.

б) ₀=1. Система принимает вид

б.1) x₁=0. Тогда из третьего уравнения имеем x₂=0, подставляя которое во второе, получаем 4+4₁=0, то есть ₁=1. Последнее уравнение системы даёт ₂=0. Таким образом, ( )=(0, 0; 1, 0)  условно-стационарная точка.

б.2) x₁≠0. Тогда ₁=1₂. Предположим, ₂≠0. Тогда имеет место система

откуда . Решаем последнее уравнение: х₂= . Подставляя во второе, получаем х₁= . Подставляя найденное значение х₂ во второе уравнение исходной системы, получаем 7₁₂=9, и приходим к системе

решением которой является ₁=1, ₂=2 (как и выше, знаки ₁ и ₂ могут быть различными). Это можно найти и по-другому: преобразовав второе уравнение, получаем

 

 (так как ),

откуда ₁=1, ₂=2.

Таким образом,

( )=( ; ; 1 2), ( )=( ; ; 1 2) 

ещё две условно-стационарные точки.

Если предположить, что ₂=0, то ₁=1. Тогда второе уравнение системы даёт х₂4(х₂+4)=0, то есть 8=0  противоречие.

Таким образом, условно-стационарных точек три:

( )=(0; 0; 1; 0), ( )=( ; ; 1 2),

( )=( ; ; 1 2),

при этом в точке ( ) имеем ₂=0, то есть ₂0 и ₂0, в точке выполняются необходимые условия как для минимума, так и для максимума. В точках ( ) и ( ) имеем ₂=20, и в этих точках выполняются необходимые условия для максимума.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2(₀+₁+₂), = =0.

Поэтому d²L=2(₀+₁+₂)(d +d ).

а) В точке X₀=(0, 0) ограничение не является активным, так как (X₀)=4<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. В точке ( ) имеем ₀=₁=1, ₂=0. Поэтому d²L(А)=4(d +d ). Имеем d₁=2x₁dx₁+2(x₂+4)dx₂, d₁(А)=8dx₂=0  dx₂=0. Поэтому d²L(А)=4d >0 при dx₁≠0 (так как ограничение ₂(Х)0 пассивно, то J_a= и условие d₂(Х)=0 не рассматривается). Следовательно, в точке X₁  условный локальный минимум.

б) В точках ( ) и ( ) ограничение-неравенство активно, так как ₂(Х^*)=0. Поэтому суммарное число активных ограничений-неравенств в точках и и ограничений равенств равно числу переменных. Так как ₂=2, то в точках выполняются достаточные условия максимума первого порядка и оно является точкой локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f_min(X)=f(X₁)=f(0, 0)=16,

f_max(X)=f( )=f( )= =24.

Ответ: X₁=(0, 0)  точка регулярного условного локального минимума, f_min(X)=16; = и =  точки регулярного условного локального максимума, f_max(X)=24.