2. Методы решения уравнения колебания струны

1. Метод Даламбера (метод бегущих волн) для бесконечной струны

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны ( ), т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обусловливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны. Эти причины описываются начальными условиями. Требуется найти профиль струны в любой момент времени.

Итак, рассмотрим задачу Коши для уравнения колебания струны:

(4)

где – функция, задающая форму струны в начальный момент времени; – скорость точки струны в начальный момент.

Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных :

где

;

Аналогично,

Подставляем в уравнение

Отсюда

.

Интегрируя это равенство последовательно по каждой переменной, получим:

.

Вернемся к старым переменным:

. (5)

Функция описывает волну, бегущую вправо со скоростью а, а функция – волну, бегущую влево.

Функция (5) является общим интегралом уравнения (4). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям:

Интегрируя последнее уравнение системы, получим:

где

Или

Складывая и вычитая уравнения данной системы, находим:

Отсюда

Подставляем эти выражения в формулу (5) и получаем решение волнового уравнения (формула Даламбера):

. (6)

Рассмотрим два частных случая.

Допустим, что , т.е. струне придана начальная форма при нулевой начальной скорости. Тогда решение (6) принимает вид

и, следовательно, представляет собой сумму двух бегущих волн: прямой волны и обратной волны . Первая перемещается по направлению оси ОХ, а вторая – в противоположном направлении.

При решение (6) имеет вид

.

Пусть

,

тогда

.

И в этом случае решение начальной задачи представляет собой сумму двух волн: прямой волны и обратной волны .

Заметим, что рассмотренная нами бесконечная струна является математической идеализацией реальных струн очень большой длины.

Пример. Решить уравнение колебания бесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:

2. Фазовая плоскость

Для выявления характера решения волнового уравнения (6) удобно воспользоваться плоскостью состояний (x, t) или «фазовой плоскостью» (рис.2.2). Прямые и называются характеристиками уравнения (6). Функция вдоль характеристики сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики .

Рис.2.2. Характеристический треугольник MPQ фазовой плоскости

Рассмотрим некоторую фиксированную точку и проведем из нее обе характеристики и , которые пересекают ось ОX в точках и . Треугольник MPQ называется характеристическим треугольником точки . Отклонение точки струны в момент времени зависит только от значений начального отклонения в вершинах P и Q треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ:

.

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .

Решение можно представить в виде суммы

где

.

Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки (– l, 0) и (l, 0). Они разбивают плоскость на шесть областей (рис.2.3).

Рис.2.3. Фазовая плоскость для бесконечной волны

Рассмотрим два случая.

Пусть на отрезке .

Если начальная скорость равна нулю, то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.

Области 1, 6 – колебаний нет.

Область 2: – волна движется влево.

Область 5: – волна движется вправо.

Область 4: – волны складываются.

Область 3 – колебаний нет, отклонение равно нулю.

Пусть на отрезке .

Если начальное отклонение равно нулю, то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

Области 1, 6: колебаний и отклонений нет.

Область 2: – волна бежит влево с изменением формы.

Область 5: – волна бежит вправо с изменением формы.

Область 4: – волны складываются.

Область 3: – колебаний нет, но струна не возвращается в исходное положение (если постоянная не равна нулю).

Пример. Построить профиль струны при для различных моментов времени в случае

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.4).

Рис. 2.4. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевой начальной скорости

Пример. Построить профиль струны для различных моментов времени в случае

Найдем выражение для :

так как в силу непрерывности при : , а при : .

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.5).

Рис.2.5. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевого начального отклонения

График изменения профиля струны с течением времени, например, для случая можно продемонстрировать в среде MATLAB:

a=1;

l=1;

dx=.01;

x=-4*l:dx:4*l;

u=1-abs(x);

u(abs(x)>l)=0;

u_left=.5*u;

u_right=.5*u;

for t=0:.25:1.25

subplot(3,2,4*t+1);

hold on

u1=circshift(u_left,[0 -a*t/dx]);

u2=circshift(u_right,[0 a*t/dx]);

plot(x,u1,'g-','lineWidth',2);

plot(x,u2,'b-','lineWidth',2);

plot(x,u1+u2,'r-','lineWidth',3);

xlim([-4*l 4*l]);

ylim([0 1]);

grid on

xlabel('x');

ylabel('u');

title(['t=' num2str(t)]);

end