Метод продолжений для полубесконечной струны

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пособие_А4.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Метод продолжений для полубесконечной струны

Рассмотрим задачу о распространении волн на полубесконечной прямой, (x ≥ 0). Следует отметить, что чаще всего имеют дело с жестким или свободным закреплением струны.

При анализе этих задач нам понадобятся леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.

Лемма 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке равно нулю: .

Доказательство леммы 1.

Примем за начало координат, . В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде

Функция при равна

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Лемма 2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по x соответствующего решения в этой точке равна нулю: .

Доказательство леммы 2.

Условие четности начальных данных имеет вид:

Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной: Рассмотрим производную:

;

Так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности .

Жесткое закрепление.

Рассмотрим случай, когда струна жестко закреплена в точке , т.е. в данной точке отклонение струны всегда равно нулю.

Задача ставится следующим образом: ищем решение системы уравнений

Рассмотрим функции и (x), являющиеся нечетными продолжениями функций и . Тогда функция

определена для всех . В силу леммы 1 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Таким образом, рассматривая полученную функцию только для , мы получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Свободное закрепление.

Теперь рассмотрим случай, когда при мы имеем свободный конец. Это значит, что касательная в точке 0 параллельна оси x:

Делаем четное продолжение функций и . Получим решение уравнения колебаний в виде функции

определенной для всех . В силу леммы 2 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при и следующим начальным условиям:

Вывод. Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетным образом.

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием начальные данные надо продолжить на всю прямую четным образом.

Метод продолжения для конечной струны (начальная и конечная точки жёстко закреплены)

Рассмотрим краевую задачу для ограниченного отрезка (0, l). Будем искать решение уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Будем искать решение задачи методом продолжения, предполагая возможность следующего представления:

где (x) и (x) – функции, подлежащие определению. Начальные условия

определяют значения (x) и (x) в интервале (0, l).

Для того чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на функции (x) и (x) требования нечетности относительно точек x = 0, x = l:

Сопоставляя эти равенства, получим:

и аналогично для Ψ(x), т.е. (x) и (x) – периодические функции с периодом 2l.

Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно начала координат и условия периодичности определяют продолжение (x) и (x) на всей прямой . Подставляя их, получаем решение задачи.

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функции и на отрицательную полуось нечетным образом

Тогда по формуле Даламбера:

Пример. Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний полубесконечной струны (с краевым условием ). Так как , то продолжим функцию на отрицательную полуось четным образом ( ):