Метод Фурье (метод стоячих волн) или метод разделения переменных
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Суть этого метода мы продемонстрируем на примере задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение волнового уравнения с начальными и граничными условиями:
Уравнение линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться с помощью суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение. Частные решения будем искать в виде:
где X (x) – функция только переменного x; T (t) – функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение, получим:
или,
после деления на
,
.
Правая часть этоого равенства является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение:
,
где
–
постоянная, которую для удобства
последующих выкладок берем со знаком
минус, ничего не предполагая при этом
о ее знаке. Получаем обыкновенные
дифференциальные уравнения для
определения функций
и
:
Очевидно,
что нас интересуют нетривиальные решения
(
).
Граничные условия дают:
Отсюда следует
.
Таким образом, мы приходим к простейшей задаче: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задач:
а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи. Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.
При
задача не имеет нетривиальных решений.
Действительно, общее решение уравнения
имеет вид
,
Граничные условия дают:
;
.
Отсюда
и, следовательно,
.
При
также не существует нетривиальных
решений. Действительно, в этом случае
общее решение уравнения (15) имеет вид
.
Граничные условия дают:
;
.
Отсюда и, следовательно, .
При
общее решение уравнения может быть
записано в виде
.
Граничные условия дают:
;
Нетривиальное
решение получаем только в случае
или
.
Отсюда
.
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
,
где
– произвольная
постоянная.
Пусть
,
тогда собственными функциями являются
.
Аналогично
решаем уравнение относительно
:
,
где
– произвольные
постоянные.
Следовательно, функции
являются частными решениями данного уравнения. В силу линейности и однородности уравнения сумма частных решений также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям. Получаем общее решение:
.
Начальные условия позволяют определить :
;
.
Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты разложения в ряд Фурье вычисляются по формулам:
;
.
Подставив эти коэффициенты в общее решение, мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.
Простейшие задачи Штурма – Лиувилля для уравнения .
Вид условия |
Собственные значения и функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
Решить уравнение колебания ограниченной
струны
,
удовлетворяющее условиям:
Решение. Общее решение имеет вид
.
Из начальных условий определим :
Тогда
.
.
Отсюда
.
Подставив эти коэффициенты в общее решение, получим решение уравнения:
.
Можно
построить в среде MATLAB
поверхность
решения данного волнового уравнения
(рис.2.6).
Рис.2.6. Поверхность решения уравнения колебания ограниченной струны
[x,t]=meshgrid(0:.1:5);
u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);
mesh(x,t,u)
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u(x,t)')
title('u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t/10)')
Для лучшей визуализации напишем m-файл, который с частотой в 1 с будет демонстрировать графики решения рассмотренного выше волнового уравнения для различных моментов времени t (рис.2.7):
figure,axis([0 10 -0.15 0.15]),grid
hold on
x=0:.1:10;
t=0:.4:2;
color=rand(3,length(t));%случайный выбор цветов волн
for k=1:length(t)
u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10);
plot(x,u,'LineWidth',2,'Color',color(:,k))
xlabel('x')
ylabel('u(x)')
title('Колебание струны u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10)')
legend('t=0','t=0.4','t=0.8','t=1.2','t=1.6','t=2')
pause(1)
end
Рис.2.7.
График профиля колебания ограниченной
струны
для различных моментов времени
Построим анимацию в среде MATLAB колебаний конечной закрепленной на концах струны при начальных условиях, заданных в предыдущем примере:
x=0:.1:10;
for t=0:20;
u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);
plot(x,u,'r','LineWidth',2);
hold all;
xlim([0 10]);
ylim([-1/8 1/8]);
grid on;
xlabel('x');ylabel('u(x)');
M(t+1)=getframe;
pause(.2)
hold off;
end
movie(M,3)%повторяем 3 раза
Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:
Решение.
Имеем задачу свободных колебаний струны,
закрепленной на концах (в точках 0 и 2).
Здесь
,
т.е.
,
.
Поэтому решение ищем в виде:
.
Подставим t = 0:
.
Используя первое начальное условие, получаем:
.
Можно
подобрать коэффициенты An
так, чтобы равенство выполнялось
тождественно:
при
,
следовательно,
.
Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u(x, t) по t:
и подставим t = 0:
.
Таким образом, получаем условие
и подбираем коэффициенты:
при
.
Итак, имеется всего два ненулевых слагаемых:
при
.
Окончательно, получаем решение:
Замечание. Часто начальная скорость точек струны (х) = 0 (т.е. рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, Вn = 0.
Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:
Решение:
Имеем задачу свободных колебаний струны,
закрепленной на концах (
,
).
Поэтому решение ищем в виде:
.
Используем первое начальное условие:
.
Подобрать
коэффициенты An
здесь нельзя,
будем их вычислять как коэффициенты
Фурье разложения функции
на интервале (0, 3) по синусам:
Второе начальное условие тривиально, поэтому Bn = 0. Таким образом,
.
Заметим,
что при
,
тогда
.