13)Метод наименьших квадратов.

В прикладных задачах техники, биологии, экономики зависимость между переменными х и у часто выражают в виде таблицы: (1)

X	x₁	x₂	…….	x_n
Y	y₁	y₂	…….	y_n

Чтобы облегчить анализ изучаемой зависимости следует табличную ф–цию (1) представить некоторой ф–лой y=f(x) таким образом, чтобы её значение возможно мало отличалось от экспериментальных.

Метод наименьших квадратов

1) Выравнивание по прямой.

Пусть дана таблица (1). Построим на пл–ти точки (х_і;у_і). Предположим, что точки распологаются вдоль некоторой прямой у=ах+b. Переберем параметры а и b таким образом, чтобы прямая наиболее близко подходила к данным точкам.

Е₁=ах₁+b-y₁

Е₂=ах₂+b-y₂

……………………….

Е_n=ах_n+b-y_nДля определения параметров а и b используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы определить а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Выясним при каких значениях а и b ф–ция Ф(а;b) принимает наименьшее значение

Найдём критические точки:

Это нормальная система метода наименьших квадратов.

Решив эту систему найдём координаты критических точек. Можно док–ть, что в найденной критической точке ф–ция Ф(а;b) имеет min.

2) Выравнивание по параболе y=ax²+bx+c. По аналогии с линейной ф–цией составляем ф–цию Ф(a,b,c)? которая даёт сумму квадратов отклонений, и находим её наименьшее значение:

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, после преобразований получим линейную систему трёх уравнений с тремя неизвестными a,b,c:

Можно док–ть, что определитель этой системы не равен нулю, а следовательно, система имеет единственное решение

14)Первообразная. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a,b) и выполняется равенство F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx причем они выполняются для всех x принадлежащим (a,b)

Совокупность всех первообразных функции f(x) на (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+C где С –константа.

15) 1. (∫f(х)dх)'= f(х)

2. d∫f(х)dх)'=f(х)dх

3. ∫dF(х)=F(х)+С

4. ∫kf(х)dх=k∫f(х)dх, k≠0.