29) Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования и его свойства. Теорема Барроу (доказательство).

Теорема Барроу: Если f(x) непрерывна на (a;b), то имеет место формула : =f(t)=f(x)

Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной ф-ии, вычесляемой на верхнем пределе: =f(x) При условии, что f(x) непрерывна.

Следствие: Интеграл с переменным верхним пределом от неопределённой ф-ии является первообразным этой ф-ии

1) =f(x) – перв от f(x), x принадлежит (a,b)

2)∫f(x)dx=F(x)+C

3) ∫f(x)dx= +C

30) Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).

Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула

.

Док-во:

пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫_a^a f(x)dx=0 Ф(b)=∫_a^b f(x)dx

Имеем C=-F(a) ∫_a^b f(x)dx+F(a)=F(b) ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)).

31) Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Если φ:[α,β]→[a,b] − непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t ≤ β в отрезок a≤x≤b, такое, что φ(α)=a и φ(β)=b, то при любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) функция f(φ(t))φ'(t) непрерывна на отрезке [a,b] и справедливо равенство

32) Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

33) Приложения определенного интеграла (геометрические приложения: площадь фигур, объем тела вращения, экономические приложения).

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, опр-ся формулой

Пусть функция y=ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b]. В этом случае объем тела, образованного вращением около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=ƒ(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс может быть найден по формуле

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной дуги, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремиться к 0. В этом случае кривая называется спрямляемой.

Экономический смысл – Если f(t) – производ-ть труда в нек. Момент времени t, то

t

∫ f(t)dt – объём произвед. Продукции за время [o;t]

0

34) Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке [а;b] ⊂ [a;+∞). Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a;+∞) и обозначают . Если предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или = ∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный . + . Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл . Если же хотя бы один интеграл в правой части расходится, то тоже расходится.