18)Интегрирование по частям

Если функции и дифференцируемы на множестве ,и кроме того, на этом множестве существует интеграл ,то на нем сущест интеграл ,причем: = -

Док-во:

Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:

I. J P(x) arcsinxdx

J P(x) arccosxdx

J P(x) arctgxdx

J P(x) arcctgxdx

за U берем обратную тригонометрическую функцию

II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) e^αxdx – за U берем P(x) за dv берем cosαxdx

III. J e^αx*sinβxdx; Je^αxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям следует применять дважды.

19) Интегралы от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Выражение, кот. содержат квадратный трех член Ax+B\ax²+bx+c; Ax+B\/(ax²+bx+c) интегрируем выделением полного квадрата трехчлена.

Выделение полного квадрата:

∫dx/(ax²+bx+c)

(a+b)²=a²+2ab+b²

Ax²+bx+c=a(x²+b/a*x)+c=a(x²+2* b/2a*x)+b²/4a²- b²/4a²+C=a(x+b/4a)²- b²/4a+C

∫(4x+1)dx/((x+1\2)²+3\4)=∫x+1/2=t, x=t-1/2, dx=(t-1/2)’dt, dx=dt]= =∫(4(t-1\2)+1)\(t²+3\4)dt=∫(4t-1)\(t²+3\4)dt=∫4t\(t²+3\4)dt-∫dt\t²+3\4)=2ln(t²+3\4)-1\(/3\2)arctgt\(/3\2)+C=2ln(x²+x+1)-2\(/3)arctg((2x+1)\/3)+C

20+21) Интегрирование рациональных дробей.Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Если R(х) =  правильная рациональная дробь, то ʃ

выражается в элементарных функциях.

Интегралы от простейших дробей вычисляются следующим

образом:

1.   таблица интегралов 2.  ; таблица интегралов

22)Интегрирование правильных рациональных дробей

Опред-ие 2: Рац-ая дробь – правильная, если степень многочлена , стоящего в числительном ниже степени многочлена , стоящего в знаменатиле. В противном случае дробь наз-ся неправильной.

Любую неправильную рац-ую дробь можно представить путём деления суммы многочленов и правильной рациональной дроби.

Теорема о разложении прав. рац. дроби на прост. дроби.

Пусть P(x)\Q(x) – прав. рац. дробь причем знаменатель представлен в виде:

Q(x)=(x-a)ⁿ…(x²+px+q)^m.

Тогда прав. рац. дробь можно представить в виде суммы простых дробей след. образом:

Где a,p,q – действ. числа, p²-4q<0:

A₁, A₂,..,A_n; N₁, N₂, Mm, Nm- неизвестные коэффициенты

Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены

23) Интегрирование простейших иррациональных выражений.

Интегралы вида где R −

рациональная функция, p,q,...,s,t − целые числа, находятся с помощью подстановки где m –наименьшее общее кратное чисел q,...,t.

Метод рационализации:

Неправильную рациональную дробь путём деления превращаем в правильную рац дробь+многочлен. Решение сводится к интегрированию рац дроби

=r(x)+ -правильная рац дробь.