Розділ 6. Характеристичні функції

6.1. Характеристична функція випадкової величини, її властивості

Якщо випадкові величини і – дійсні, то випадкова величина буде комплексно значною випадковою величиною. Визначимо її математичне сподівання за допомогою рівності .

Означення. Характеристичною функцією випадкової величини називають функцію

. (1)

Математичне сподівання завжди існує, бо неперервна і . Використовуючи формулу Ейлера , одержимо .

Якщо випадкова величина приймає значення з ймовірностями , то

. (2)

Якщо ж випадкова величина – неперервна і має щільність розподілу , то

. (3)

У загальному випадку

. (4)

Розглянемо деякі приклади знаходження характеристичних функцій.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Тому за формулою (2) .

Рівномірний розподіл. Випадкова величина має щільність За формулою (3) ,

якщо ж випадкова величина має рівномірний розподіл на , то

.

Нормальний розподіл. Нехай випадкова величина ~ . Це означає, що . За формулою (3)

.

Продиференціюємо дану функцію по параметру (це можливо, бо інтеграл в правій частині рівномірно збіжний відносно ), а далі інтегруємо частинами, тоді одержимо

.

Розв’язуючи рівняння при початковій умові , одержимо .

Розглянемо тепер деякі властивості характеристичних функцій.

1. Для довільного ,

За формулою (4) для довільного , а .

2. .

.

3. Якщо випадкова величина має характеристичну функцію , то випадкова величина буде мати характеристичну функцію

.

Із (1)

Наприклад, якщо випадкова величина ~ , а випадкова величина , то ~ , Тоді

4. Якщо випадкові величини – незалежні, мають характеристичні функції і , то характеристична функція .

Оскільки випадкові величини – незалежні, то незалежними будуть і величини і , тому .

Із властивості (4) випливає: якщо випадкові величини – незалежні, то характеристична функція їх суми дорівнює добутку характеристичних функцій доданків.

Як приклад застосування цієї властивості знайдемо характеристичну функцію біномного розподілу. Нехай – число появ події в експериментах Бернуллі, тоді , де

За формулою (2) , а за властивістю 4 .

Для доведення наступних властивостей необхідна наступна лема.

Лема. Для будь-якого дійсного і цілого справедливі нерівності

, (Н1)

. (Н2)

Доведення. Доведемо спочатку нерівність (Н1). Із рівності випливає, що . Тобто при нерівність (Н1) правильна.

Із рівності , при врахуванні попередньої нерівності, одержуємо . Тобто, нерівність правильна і при .

Припустимо, що нерівність вірна при , і доведемо, що вона вірна і при . Із рівності

випливає, що

.

Це означає, що нерівність (Н1) правильна при . Нерівність (Н2) випливає із (Н1):

.

Лема доведена.

5. Характеристична функція рівномірно неперервна на .

Розглянемо різницю . Тоді . За нерівностями (Н1) і (Н2) при і , тому

Із того, що при і при випливає, що для довільного число можна вибрати настільки великим, щоб виконувалась нерівність . Зафіксуємо таке і покладемо . Тоді при

,

а це означає, що характеристична функція рівномірно неперервна на .

6. Нехай для випадкової величини існує математичне сподівання , тоді характеристична функція має в кожній точці похідні для і має місце рівність

, (5)

крім того,

, (6)

де при .

Оскільки – збіжний, то інтеграл , що одержується формальним диференціюванням характеристичної функції , є рівномірно збіжним при . Тому диференціювання під знаком інтеграла законне і

, .

Припустимо, що існує . Із збіжності інтеграла випливає, що інтеграл є рівномірно збіжним при , тому попередню рівність можна диференціювати по і буде справедливою рівність , при цьому, .

У зв’язку із тим, що існують похідні до -го порядку і , то ми можемо розкласти за формулою Тейлора:

.

Оцінимо залишковий член

.

Для оцінки першого інтеграла правої частини застосуємо нерівність (Н1) , а другого – (Н2) . Тоді

.

Нехай . Виберемо і зафіксуємо число таким, щоб . Це можна

зробити, бо існує, тому залишок цього інтегралу при . Покладемо , тоді при

. Отже, . А це означає, що при .

7. Характеристична функція додатно визначена: для будь-якого натурального , довільних дійсних і довільних комплексних .

Дійсно,

.

Має місце більш загальне твердження, яке ми наведемо без доведення.

Теорема (Бохнера-Хінчина). Для того, щоб функція була характеристичною функцією деякого розподілу, необхідно і достатньо, щоб вона була неперервна, додатно визначена і .

Означення. Характеристичною функцією випадкового вектора називається функція векторного аргументу .

Характеристична функція випадкового вектора має властивості аналогічні до властивостей одновимірної випадкової величини.

Якщо значення випадкових величин не довільні, то замість характеристичних функцій зручніше застосовувати деякі інші. Якщо величина має лише невід’ємні значення, то розглядають її перетворення Лапласа .

Нехай випадкова величина приймає лише цілі невід’ємні значення з ймовірностями , . Твірною функцією (генератрисою) випадкової величини називається функція , що визначена при комплексних , для яких .

Твірна функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добуткові твірних функцій доданків. Те саме стосується і перетворення Лапласа. Важливо відзначити, що характеристична функція, твірна функція, а також перетворення Лапласа однозначно визначають розподіл випадкової величини (для характеристичних функцій це ми пізніше доведемо).

Вправи.

1. Нехай набуває значень 1 і –1 з ймовірностями ½ кожне. Знайти характеристичну функцію .

2. Довести, що функція є характеристичною функцією, і знайти відповідний розподіл ймовірностей.

3. Випадкова величина має гамма-розподіл: . Знайти характеристичну функцію.

4. Використовуючи вигляд характеристичної функції гауссової (нормально розподіленої) випадкової величини , де , , довести, що сума будь-якої кількості гауссових випадкових величин є також гауссова величина.

5. Довести, що характеристична функція дійсна тоді і тільки тоді, коли розподіл симетричний ( і мають однаковий розподіл).

6. Довести, що характеристична функція дійсна тоді і тільки тоді, коли відповідна функція розподілу задовольняє рівність .

7. Використовуючи властивості характеристичних функцій показати, що функції , не можуть бути характеристичними.