6.2. Формули обернення для характеристичних функцій

Якщо задана функція розподілу , тоді характеристична функція виражається через однозначно за формулою . Поставимо обернену задачу: знайти функцію розподілу , якщо відомо характеристичну функцію .

Теорема 1. Нехай – функція розподілу, а – характеристична функція випадкової величини . Для довільних і , які є точками неперервності , справедлива рівність

. (7)

Доведення. Розглянемо інтеграл і підставимо , тоді і, змінивши порядок інтегрування, одержимо .

Оскільки інтеграл

,

а , то

. Отже,

,

де

. (8)

Врахуємо, що при , при , при

і є рівномірно збіжним в кожному із проміжків і для будь-якого і при для всіх досить великих

. (9)

Нехай і виберемо так, щоб . Тоді

. (10)

Розглянемо окремо кожен інтеграл.

Якщо , то , тому при інтеграли рівномірно збігаються до . Отже, із (8) одержуємо

. (11)

Оскільки в , то і , тому при інтеграли рівномірно збігаються до . Тому

. (12)

Із того, що в , а випливає, що рівномірно , а також рівномірно, тому із (8) випливає, що рівномірно по , а це означає, що

. (13)

Для або , тому із (9) і (8) для великих c одержуємо , а це означає, що для всіх досить великих

. (14)

Аналогічно,

. (15)

Отже, із (10) – (15) одержуємо

, (16)

де .

Враховуючи, що – точки неперервності і інтеграл не залежить від , то перейшовши в (16) до границі, коли , і враховуючи, що при , одержуємо .

Наслідок. Функція розподілу випадкової величини однозначно визначається своєю характеристичною функцією.

Доведення. Покладемо в (7) і перейдемо до границі, коли , тоді , а із (7) одержимо .

Теорема 2. Нехай характеристична функція – абсолютно інтегровна на , тобто – збіжний. Тоді відповідна їй функція розподілу буде неперервною в кожній точці ; існує щільність розподілу

; (17)

– неперервна.

Доведення. Із абсолютної інтегровності характеристичної функції і теореми 1 випливає, що

. (18)

Нехай , покладемо так, щоб були точками неперервності функції . Тоді

.

Звідки, , а це означає, що функція розподілу є неперервною в кожній точці .

Із збіжності інтеграла випливає, що інтеграл в рівності (17) існує. Тоді із (18) одержимо:

.

Тоді .

Із нерівностей (Н1) і (Н2) і , застосувавши їх відповідно до першого і другого інтегралів правої частини попередньої нерівності, маємо

. (19)

Нехай задане довільне . Із збіжності інтеграла випливає, що існує таке, що буде виконуватись нерівність

. (20)

Зафіксуємо таке . Тоді, якщо покладемо , то при із (19) і (20) одержуємо . А це означає, що існує . Тобто, є щільністю розподілу і справедлива рівність (17).

Доведемо, що – неперервна. Оскільки

,

то із нерівності (Н1)

. (21)

При другий доданок у нерівності (21) прямує до 0. Тому для довільного існує таке , що . Зафіксуємо таке . Якщо покладемо , то при , перший доданок в (21) буде менший за , а тоді і . Це означає, що в точці функція – неперервна.

Вправи.

8. Нехай – характеристична функція розподілу . Довести, що для точок неперервності має місце рівність .

9. Випадкова величина має щільність розподілу Довести, що характеристична функція рівна .

10. Випадкова величина має щільність розподілу . Довести, що характеристична функція рівна