6.4. Неперервна відповідність між збіжністю функцій розподілу і характеристичних функцій

Розглянемо тепер одну із найбільш важливих властивостей характеристичних функцій, яка є основним засобом доведення теорем про слабку збіжність розподілів. Нехай , – функції розподілу, а , – відповідні характеристичні функції.

Теорема 1. Нехай послідовність функцій розподілу слабко збігається до функції розподілу , тоді послідовність характеристичних функцій , де . При цьому ця збіжність є рівномірною в кожному скінченному проміжку зміни .

Доведення. Для кожного функції і – неперервні і обмежені при , слабко, а ця збіжність еквівалентна збіжності в основному, тому за другою теоремою Хеллі

,

тобто, послідовність характеристичних функцій .

Доведення рівномірної збіжності є повторенням доведення теореми 3.

Теорема 2. Якщо послідовність характеристичних функцій збігається до функції , що неперервна в точці , тоді відповідна послідовність функцій розподілу буде збігатися в основному до функції розподілу , для якої буде відповідною характеристичною функцією, тобто .

Доведення. За першою теоремою Хеллі із можна виділити підпослідовність , яка слабко збігається до деякої неспадної функції . Покажемо, що буде функцією розподілу. Для цього досить показати, що . Для довільного покладемо і розглянемо інтеграл

. (29)

Ми використали рівність , невід’ємність виразу і нерівність при . Нехай і – точки неперервності . Перейдемо в нерівності (29) до границі, коли , і врахуємо, що , тоді одержимо . Нехай тепер . Оскільки функція – неперервна в точці і , то , а це означає, що . Тобто є функцією розподілу, а буде відповідною характеристичною функцією, тобто .

Щоб завершити доведення теореми, необхідно показати, що і вся послідовність збігається в основному до . Припустимо, що це не виконується. Тоді існує підпослідовність , яка збігається в основному до і принаймні в одній точці неперервності функції . Але відповідна послідовність характеристичних функцій , яка є характеристичною функцією для . А це означає, що . Одержали протиріччя, яке доводить теорему. Тобто, збігається в основному до функції розподілу .

99