Запитання для самоперевірки

1. Як задається площина на комплексному кресленні?

2. Що таке слід площини?

3. Де розташовуються фронтальна проекція горизонтального сліду і горизонтальна проекція фронтального сліду площини?

4. Які площини називаються площинами рівня? Які властивості цих площин?

5. Які площини називаються проецюючими? Які властивості цих площин?

6. Сформулюйте умови належності прямої площині.

7. Як побудувати на кресленні точку, яка належить заданій площині?

8. Які прямі називаються горизонталями площини? фронталями?

9. Що таке лінія найбільшого нахилу площини?

ЛЕКЦІЯ 4.

ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

План.

1. Взаємне положення прямих і площин

1.1. Точка і пряма.

1.2. Дві прямі

1.3. Пряма і площина.

1.4. Дві площини.

2. Теорема про проеціювання прямого кута.

3. Взаємна перпендикулярність.

3.1. Двох прямих

3.2. Прямої і площини.

3.3. Двох площин.

1. Точка належить прямій, коли її однойменні проекції лежать на однойменних проекціях прямої і знаходяться у проекційному зв’язку. Тому належність точки прямій загального положення достатньо перевірити на двох її проекціях В лекції №2, п. 2.2 було розглянуто можливі варіанти взаємного положення точки і прямої (рис. 2.9).

П

Рис.4.1. Взаємний перетин двох прямих

рямі в просторі можуть займати різні положення – перетинатися, бути паралельними або мимобіжними.

Якщо прямі перетинаються в просторі, то на епюрі (рис. 3.1) перетинаються їх однойменні проекції. Проекції точок перетину прямих знаходяться у проекційному зв’язку.

Якщо одна з прямих, що перетинаються являється лінією рівня, то перевірка перетину прямих проводиться у цій площині проекцій, до якої лінія рівня паралельна.

Якщо прямі в просторі паралельні, то їх однойменні проекції на будь-яку площину також взаємно паралельні а₁ ІІ b₁, a₂ II b₂ (рис.4.2-а).

Перевірку прямих загального положення на паралельність достатньо провести на двох проекціях. Паралельність прямих рівня, перевіряють на тій площині проекцій, до якої ці прямі паралельні.

а) б)

Рис. 4.2. Взаємне положення прямих в просторі

Рис.4.3. Мимобіжні прямі

Прямі, які в просторі не паралельні між собою і не перетинаються називаються мимобіжними. Точки перетину однойменних проекцій цих прямих не лежать на одній лінії проекційного зв’язку (рис.4.2-б, 4.3) та називаються конкуруючими точками (детальніше ознайомлення див. лекція №1 п. 1.6).

Загальним випадком взаєм-ного положення прямої і площини є їх перетин. Якщо точка перетину знаходиться у нескінченності, то пряма і площина паралельні між собою (рис.4.4).

Рис.4.4. Паралельність прямої та площини

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, розміщеній на цій площині.

Якщо через точку в просторі треба провести пряму, паралельну площині, то спочатку в цій площині проводимо яку-небудь пряму, а потім через задану точку проводимо другу пряму, паралельну першій (рис.4.4).

Побудова точки зустрічі прямої загального положення з площиною загального положення складається з трьох операцій (рис.4.5):

1. Проведення через задану пряму c допоміжної площини-посередника  (зазвичай проецююча площина).

Рис.4.5. Перетин прямої та площини

2. Знаходження лінії MN перерізу заданої площини  з допоміжною площиною .

3. Визначення точки K перетину заданої прямої c зі знайденою лінією перерізу двох площин. Точка K є шуканою точкою перетину прямої c з площиною .

У

Рис.4.6. Перетин прямої з проецюючою площиною

випадку перетину прямої m загального положення з проецюючою площиною   ₂ (рис.4.6), проекція точки перетину на ₂ – точка К₂ визначається відразу: m₂  ₂ = K₂. За допомогою лінії зв’язку визначаємо горизонтальну проекцію точки K – K₁, виходячи з умови належності точки Kпрямій m. Видимість на П₁ визнача-ємо за допомогою точок 1 і 2, конкуруючих відносно площини проекцій П₁.

В

Рис.4.7. Перетин проецюючої прямої з площиною загального положення

ипадок перетину проецюючої прямої n  П₁ з площиною (a  b) загального положення розглянуто на рис. 4.7.

Загальним випадком взаємного положення двох площин є їх переріз. Якщо лінія перерізу знаходиться в нескінченності, то площини будуть паралельні між собою.

Площини паралельні (рис.4.8), якщо дві прямі, що перетинаються, однієї з них відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої.

Площини окремого положення паралельні тоді, коли паралельні їх однойменні сліди-проекції (рис.4.8-б).

Щоб побудувати через задану точку K площину, паралельну площині  (а  b), досить через точку K провести дві прямі, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються і належать площині  (рис.4.8).

а) б)

Рис.4.8. Паралельність площин в просторі

Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій, перетинаються по прямій, яка перпендикулярна до тієї самої площини проекцій (рис.4.9-а).

Дві площини, які перпендикулярні до різних площин проекцій, перерізаються по прямій, проекції якої збігаються зі слідами-проекціями площин (рис.4.9-б).

а) б)

Рис.4.9. Перетин площин окремого положення

У

Рис.4.10. Взаємне положення площин в просторі

випадку перетину площини  (DEF) проецюючого положення (  П₂) з площиною  (АВС) загального положення (рис.4.10), лінія перетину на фронтальній проекції збігається зі слідом проекцією площини . Зафіксувавши пряму перетину п точками 1 і 2, які є спільними для обох площин, що перетинаються, знайдемо її горизонтальну проекцію. Видимість площин  і  визначаємо на П₁ за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.

Розглянемо випадок перетину двох площин загального положення (рис. 4.11). Дві площини перетинаються по прямій лінії, а положення прямої цілком визначається двома точками. Тому розв'язання задачі на побудову проекцій прямої перетину двох площин у загальному випадку зводиться до визначення проекцій двох точок, які одночасно належать кожній з площин, що перетинаються. Лінія перетину площин пройде через ці дві точки.

Задачу можна розв'язати двома способами:

- способом знаходження точки зустрічі прямої з площиною;

- способом допоміжних січних площин (метод посередника).

Суть метода посередника:

а) дві задані площини перетинаються третьою допоміжною площиною-посередником;

б) будується лінія перетину кожної з заданих площин з посередником;

в) знаходиться точка, в якій перетинаються ці лінії перетину і яка є однією з точок шуканої лінії перетину заданих площин.

Нехай задано дві площини загального положення  (АВС) та  (a ІІ b). Необхідно знайти лінію перетину площин    = n( MN).

1) Вводимо допоміжну фронтально-проецюючу площину  –   П₂;

  a; a   = M;    =  ; ₂  a₂  ₂; ₁  a₁ = M₁  M₂.

2) Вводимо допоміжну фронтально-проецюючу площину Ф – Ф  П2; Ф   = t ( т. 3,4); Ф   =c (т. 5, 6);

d  t = N ; Ф₂  c₂  t₂  N₂; d₁  t₁= N₁.

3) Видимість площин на П₁ і П₂ визначаємо за допомогою т. 7, 8 і 9, 10

Рис.4.11. Перетин площин загального положення

2. Для того, щоб ортогональна проекція прямого кута на яку-небудь площину проекцій була прямим кутом (проеціювалася в натуральну величину), необхідно і досить, щоб хоча б одна зі сторін цього кута була паралельною площині проекцій, в той час, як інша сторона не повинна бути перпендикулярною до цієї площини проекцій.

 ABC = 90: BC ІІ П₀   A₀B₀C₀=90.

Доведемо це. Продовжимо АВ до перетину з площиною П₀ в точці K  K₀. Через точку K₀ в площині П₀ проведемо пряму q₀ ІІ B₀C₀. Оскільки q₀ ІІ B₀C₀, а B₀C₀ ІІ BC, то q₀ ІІ BC. Звідси кут BK₀ L₀ = 90. Згідно з теоремою про три перпендикуляри (пряма, яка належить площині, тоді і тільки тоді перпендикулярна похилій до цієї площини, коли вона перпендикулярна до її проекції на розглядувану площину) кут B₀K₀L₀ теж прямий. Через те, що K₀L₀ ІІ B₀C₀, а кут B₀K₀L₀ = 90 і кут K₀B₀C₀ = 90.

а) б)

Рис.4.12.

Висновок:

1) якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то проецюючий кут буде прямим лише за умови, що хоча б одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій (рис. 4.12-б).

2) якщо проекція будь-якого кута, у якого одна із сторін паралельна площині проекцій, являє собою прямий кут, то кут, що проецюється, теж буде прямим (рис. 4.12-б).

Теорема про проеціювання прямого кута є теоретичною передумовою для побудови на комплексному кресленні проекцій прямих і площин, взаємно перпендикулярних у просторі.

3. Знаходження відстані між двома прямими зводиться до розв'язання задачі на визначення відстані від точки до прямої, оскільки саме відстань від точки до прямої визначається довжиною відрізка перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Розглянемо три випадки.

Випадок 1. Пряма ί  П₂ (П₁); точка А.

У

Рис.4.13.

випадку, коли пряма займає часткове положення (паралельне або перпенди-кулярне до площини проекцій), на основі теореми про проеціювання прямого кута можна без будь-яких допоміжних побудов провести проекції прямої, перпендикулярної до заданої (рис. 4.13, 4.14).

Являючись фронталь-но-проецюючою, (рис. 4.13) пряма ί водночас є горизонталлю, а тому на П₁ вона зберігає свою перпендикулярність з перпендикуляром, опущеним з точки А на неї. Таким чином, на комплексному кресленні А₁K₁  ί₁. Очевидно, що АK – фронталь, а тому А₂K₂ – натуральна величина відрізка перпендикуляра АK.

В

Рис.4.14.

ипадок 2. Пряма l паралельна П₂(П₁); точка А.

Оскільки пряма l – фронтальна (рис. 4.14), то на площині проекцій П₂ вона збереже перпендикулярність з перпендикуляром, проведеним до неї з точки А: А₂К₂  l₂.

З комплексного креслення очевидно, що відрізок АK – загального положення, а тому його натуральну величину визначаємо способом прямокутного трикутника.

Випадок 3. Пряма l загального положення; точка А (рис. 5.13).

Якщо пряма займає загальне положення то для визначення відстані від точки до прямої використовуємо відому з геометрії теорему: дві прямі взаємно перпендикулярні тільки в тому випадку, якщо через кожну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої прямої.

1) Через точку А проводимо площину , яка буде перпендикулярною до прямої l. А  ;   l. (h  f); h₁  l₁, f₂  l₂.

2

Рис.4.15.

) Площина  визначає множину прямих, перпендикулярних до прямої l, які проходять через точку А. Щоб виділити з цієї множини єдину пряму, яка перетинає пряму l і відрізком якої вимірюється відстань від точки А до прямої l, необхідно знайти точку К зустрічі прямої l з площиною  і з'єднати її з точкою А. l   = K: l  ; l₂  ₂;   ₂. АК – відстань від точки А до прямої l.

3) Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка АК.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються.

Спочатку розглянемо часткові випадки, коли площина паралельна або перпендикулярна до площини проекцій.

Випадок 1. Якщо площина паралельна площині проекцій, то пряма, яка перпендикулярна до неї, буде проецюючою. Одна з її проекцій буде перпендикулярною до сліду проекції площини.

Наприклад, задано площину  ІІ П₁ (рис. 4.16-а) і точку А(А₁,А₂). Необхідно через точку А провести пряму ί  .

Оскільки  ІІ П₁, а ί  , то ί  П₁. А  ί : ί₁  А₁, ί₂  ₂.

а) б)

Рис.4.16.

Випадок 2. Якщо площина займає проецююче положення, то пряма лінія, яка перпендикулярна до площини, буде прямою рівня.

Наприклад, задано площину   П₂ (рис. 4.16-б) і точку А(А₁,А₂). Необхідно через точку А провести пряму l  .

Оскільки площина   П₂, а l  , то пряма l ІІ П₂  l₁ ІІ X₁₂, l₂  ₂.

Випадок.3. Якщо площина  займає загальне положення, то і перпендикуляр до цієї площини теж буде займати загальне положення.

Наприклад, задано площину  в системі площин проекцій П₁ П₂ (рис. 4.17-а). Пряма n  . А – основа перпендикуляра на площині . Якщо провести через точку А у площині  фронталь f і горизонталь h, то ці прямі утворять з прямою n прямі кути, як і будь-які інші прямі, що належать площині , оскільки з геометрії відомо, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинається або схрещується під прямим кутом з будь-якою прямою, проведеною на цій площині.

Але на комплексному кресленні перпендикулярність зберігається не з кожною прямою. Саме тому ми виділяємо фронталь і горизонталь.

Через те, що h ІІ П₁, прямий кут, утворений нею з прямою n   спроецюється на П₁ без спотворення на основі теореми про проеціювання прямого кута. З тієї ж причини кут, утворений f з прямою n  , спроецюється на П₂ також без спотворення.

Таким чином, для побудови проекцій перпендикуляра до площини необхідно мати лінії рівня чи сліди площини (рис. 4.17-б):  – площина загального положення, А   , n   , A  n, h і f  , h ІІ h₁⁰: f ІІ f₂⁰ : n₁  h₁⁰ : n₂  f₂⁰.

а) б)

Рис.4.17.

Висновок. Для того, щоб пряма у просторі була перпендикулярна до площини, необхідно і достатньо, щоб на комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини, а фронтальна проекція прямої перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (або необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярні до однойменних слідів площини): n₁  h₁, n₂  f₂  n  (f, h).

Можна провести перпендикуляр до площини з будь-якої точки, а потім розв'язувати задачу про знаходження точки перетину прямої з площиною. Розвиваючи цю думку, приходимо до задачі на визначення відстані від точки до площини.

Задача 1. Визначити відстань від точки А(A₁, A₂) до площини  (c ІІ d) (рис. 4.18-а).

Відстань від точки до площини вимірюється довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину : n  ; A  n .

1) Проводимо лінії рівня площини h і f.

2) Проводимо проекції перпендикуляра з точки А до площини :

n₁  h₁; n₂  f₂. Зауважимо, що пряма n схрещується з f і h під прямими кутами, а тому основи перпендикуляра на площині ми не маємо.

3) Знаходимо точку K перетину прямої n з площиною : K = n  .

4) Визначаємо натуральну величину відрізка перпендикуляра АК способом прямокутного трикутника.

Можна розв'язати зворотну задачу, тобто побудувати площину, перпендикулярну до заданої прямої.

а) б)

Рис.4.18. Знаходження відстані від прямої до площини

Задача 2. Через точку А(A₁, A₂) провести площину , яка перпенди-кулярна до прямої l. Пряма l – загального положення

Площина буде перпендикулярна до прямої, якщо дві перетині прямі цієї площини будуть перпендикулярні до заданої прямої. А тому проведення через точку А площини , перпендикулярної до прямої l, виконується шляхом побудови фронталі і горизонталі, які схрещуються під прямими кутами із заданою прямою: А  ;  (h  f): h₁  l₁ ; f₂  l₂ (рис. 4.18-б).

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину , яка перпендикулярна площині , був перпендикуляр до площини  (ABC).

Задача 1. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна до заданої площини  (рис. 4.19).

Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини , треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1) Проводимо h i f  .

2) Проводимо проекції перпендикуляра l, опущеного з точки М на площину : l₁  h₁; l₂  f₂.

3) Будуємо площину  (l  m). Пряму m  m₁, m₂ проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму l і перпендикулярних до площини , безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

Рис.4.19. Перпендикулярність двох площин