Загального положення

4. Частковим випадком плоско-паралельного переміщення є обертання фігури навколо осі, перпендикулярної до однієї з площин проекцій. При цьому усі точки фігури рухаються (переміщуються) по колах у площинах рівня, перпендикулярних до осі обертання. Центри кіл знаходяться у точках перетину осі із вказаними площинами. Якщо точка фігури знаходиться на осі обертання, то при обертанні системи ця точка вважається нерухомою.

Таким чином, при обертанні навколо горизонтально-проецюючої осі, фронтальні проекції точок фігури переміщуються по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку, а горизонтальні – по дугах кіл.

При обертанні навколо фронтально-проецюючої прямої горизонтальні проекції точок переміщуються по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку, а фронтальні – по дугах кіл.

На рис. 5.5 показано обертання точки А навколо горизонтально-проецюючої прямої.

Р

Рис.5.5. Обертання точки навколо горизонтально-проецюючої прямої

озв'язуючи задачі способами обертання треба уміти показувати на кресленні такі основні елементи обертання:

ί – вісь обертання, пряма, навколо якої обертається точка, Вона обирається перпендикулярною до площин проекцій П₁ або П₂.

 – площина обертання, тобто площину, в якій переміщується точка і яка перпендикулярна до осі обертання ί. Якщо вісь обертання перпендикулярна до П₁, то площина обертання буде горизонтальною; якщо до П₂, то площина обертання буде фронтальною.

т. О – центр обертання, точка перетину осі з площиною обертання

R

Рис.5.6.

_об. – радіус обертання, відстань точки від центра обертання. Радіус обертання проецюється в натуральну величину на ту площину проекцій, перпендикулярно до якої вибрано вісь обертання.

Приклад 1. Перетворити пряму загального положення в проецюючу пряму, визначити натуральну величину її відрізка АВ (рис. 5.6).

При обертанні прямої навколо осі доводиться обертати дві її точки. Побудова спрощується, якщо вісь обертання провести через одну з кінцевих точок відрізка: вісь ί проводимо через точку А. ί  П₂. Щоб визначити натуральну величину відрізка АВ, обертаємо його фронтальну проекцію до положення ІІ Х₁₂. Таким чином відрізок АВ став горизонталлю, а горизонтальна проекція A₁B₁ є його натуральною величиною. Для перетворення відрізка в проецююче положення здійснюємо обертання відрізка АВ навколо горизонтально-проецюючої осі q (q  П₁), яку проводимо через точку В. Обертаємо горизонтальну проекцію до положення A₁B₁  Х₁₂. Фронтальна проекція відрізка стане точкою: A₂  B₂.

Приклад 2. Визначити натуральну величину АВС. АВС – площина загального положення (рис. 5.7).

Перетворення виконуємо послідовним подвійним обертанням. Спочатку перетворюємо площину загального положення в проецюючу площину. Для цього в площині АВС проводимо одну із ліній рівня – h або f і обертаємо її до положення, коли вона стане перпендикулярною площині проекцій. При цьому лінія рівня спроецюється в точку, а площина – в лінію. Потім площину обертаємо навколо іншої проецюючої прямої до положення коли площина стане паралельною площині проекцій. На цю площину вона спроецюється в натуральну величину.

Рис. 5.7.

5. Обертання навколо горизонталі або фронталі застосовують, коли задану плоску фігуру потрібно сумістити з площиною рівня, паралельною площині проекцій. В такому положенні плоска фігура проецюється на відповідну площину проекцій в натуральну величину.

Р

Рис.5.8.

озглянемо спочатку обертання точки А навколо горизонталі (рис. 5.8). Суть перетворення залишається такою ж, як і у випадку обертання навколо осей, які перпендикулярні до площин проекцій.

При обертанні навколо h точка А описує дугу кола у площині обертання . Площина обертання  перпендикулярна до осі обертання:   h. Таким чином,  є горизонтально-проецюючою площи-ною:   П₁. Центр обертання – точка О. О =   h. Радіус обертання точки А (АО – відрізок прямої загального положення) знаходиться у площині . Якщо радіус обертання точки А стане паралельним до П₁, то він суміститься з площиною рівня, паралельною до П₁, в якій знаходиться вісь обертання h. В цій самій площині рівня опиниться і точка А  R. Таким чином, способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину радіуса обертання точки А навколо h. Натуральну величину радіуса обертання відкладаємо від точки О₁ на ₁ (або за допомогою циркуля горизонтальну проекцію точки переміщуємо в нове положення А₁), оскільки завжди R  . В новому положенні точка А знаходиться з горизонталлю h в одній площині, яка паралельна П₁. Друга проекція А₂ в цьому випадку буде збігатися з проекцією h – h₂.

Приклад 1: Визначити натуральну величину АВС площини загального положення (рис. 5.9).

Для визначення натуральної величини АВС, через точки С і 1 проводимо горизонталь площини. Ці точки при обертанні будуть нерухомими, оскільки вони знаходяться на осі обертання h. Обертатись будуть лише точки А і В. Вони переміщуються по колах у площинах обертання, перпендикулярних до осі обертання h.

Д

Рис.5.9.

ля визначення положення точки В₁ після обертання, знаходимо натуральну величину радіуса обертання точки В навколо горизонталі h і цим радіусом переводимо горизонтальну проек-цію точки В в нове положення.

Радіус обертання точки А можна не знаходити, тому що точка А лежить на прямій 1-АВ, а положення двох точок цієї прямої ми визначили.

В  ;   h; А  ;   h.

Проекція А₁В₁С₁ є натуральною величину АВС, оскільки площина АВС стала ІІ П₁. Фронтальна проекція АВС збігається з фронтальною проекцією h₂ горизонталі, тобто являє собою пряму лінію.

6. Спосіб допоміжного косокутнього проеціювання доцільно використовувати для розв’язання позиційних задач. Він полягає в тому, що напрям проеціювання вибирається таким чином, щоб пряма або площина, яка розглядається в задачі, займала проецююче положення.

П

Рис.5.10.

риклад 1. Способом косокутного допоміжного проеціювання визначити точки перетину прямої АВ з площиною загального положення заданою слідами.

Площину та пряму спроеційовано на поле П₂ у напрямі горизонталі площини, при цьому площина спроеціюваласяя своїм фронтальним слідом, а пряма відрізком А₂В₂. Перетин цих двох прямих – точка D₂, яку у зворотному напрямку проеціювання знаходимо на профільній прямій АВ.

Приклад 2. Визначити лінію перетину двох площин загального положення заданих трикутними відсіками.

Для визначення лінії перетину спроецюємо АВС та DFE на площину відповідності (бісекторну площину ІІ та ІV чверті простору). За напрямок проеціювання обираємо напрям сторона ВС, яка спроецюється в точку, а весь відсік АВС – в лінію. Другий відсік DFE спроецюється в трикутник D₄F₄E₄. В перетині отримаємо пряму M₄N₄, точки якої у зворотньому напрямі повертаємо на відповідні сторони DFE.

За допомогою конкуруючих точок 1, 2 та 3, 4 визначаємо видимість прямих на П₁ та П₂.

Рис. 5.11. Визначення лінії перетину двох площин способом допоміжного