Занятие 1 Тема: «Матрицы и действия над ними»
Литература для самостоятельного изучения темы: [1], гл. VII, VIII; [2], разд. I, гл. 2; [3], гл. 3; [4], гл. 3; [5], гл. V; [6], гл. VI; [7], гл. 1; [8], гл. 1; [9], гл. 10.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение матрицы размера mn.
2. Какие матрицы называются равными?
3. Дайте определения квадратной матрицы и ее порядка.
4. Дайте определения матрицы-строки и матрицы-столбца.
5. Перечислите
элементы матрицы
составляющие:
а) главную диагональ; б) побочную диагональ.
6. Какая матрица называется диагональной?
7. Какая матрица называется единичной?
8. Дайте определение треугольной матрицы. Какая из следующих матриц является треугольной:
,
,
,
?
9. Дайте определение транспонирования матрицы.
10. Найдите матрицу А – 3В, если
,
.
11. Можно ли найти
произведение матриц
и
?
12. Сколько строк
и столбцов будет иметь матрица
,
если матрица А
имеет 5 строк и 2 столбца, а матрица В
– 2 строки и 7 столбцов?
13. Любые ли две матрицы являются коммутирующими?
14. Дайте определение матрицы, обратной данной матрице А.
15. Какая матрица называется обратимой?
16. Сформулируйте свойства операций над матрицами (14 свойств).
17. Какие преобразования матриц называют элементарными?
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1. Найдите произведение матриц:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 2.
Найдите
матрицу, перестановочную с А,
если
.
Решение. Пусть
– искомая матрица, т.е.
.
Тогда условие перестановочности влечет
матричное уравнение:
,
т.е.
=
Так как равенство двух матриц означает равенство их соответствующих элементов, то получим систему уравнений:
Решая ее, получим
что означает перестановочность с А
всех матриц вида
,
где z
и u
– произвольные
числа.
Придавая значения z и u, будем получать матрицы, перестановочные с А, например:
если z
= 1, u
=
0
то
;
если z
= 0, u
=
1 то
и т.д.
III. Задачи для упражнений
1. Найдите произведение матриц:
а)
б)
в)
2. Выполните действия:
а)
б)
3. Вычислите АВ – ВА, если
4. Проверьте, существует ли произведение, и если да, то вычислите его:
а)
б)
в)
5. Вычислите
:
а)
,
где
б)
,
где
6. Найдите матрицу,
перестановочную с матрицей
7. Найдите неизвестную матрицу X из следующих уравнений:
а)
б)
в)
8. Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.
9. Найдите матрицу,
обратную данной: а)
б)
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Умножьте матрицы:
а)
б)
в)
2. Вычислите
,
где
а
– матрица, транспонированная к А.
3. Найдите все квадратные матрицы того же порядка, перестановочные с матрицей А:
а)
б)
в)
V. Задание на дом
1. Найдите произведение матриц:
а)
б)
2. Докажите, что если АВ = ВА, то:
а)
б)
3. Вычислите f(A),
если
4. Найдите неизвестную матрицу Х из следующих уравнений:
а)
б)
5. Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице.