II. Типовые задачи с решениями

Задача 1. Даны три вектора Определите координаты вектора в базисе

Решение. Первый способ. Пусть векторы заданы в базисе . Тогда их можно представить следующим образом:

Обозначим через x, y координаты вектора в базисе тогда Подставляя в это равенство выражения векторов через базисные векторы , получим: или В левой части этого равенства стоит вектор с координатами , в правой – вектор с координатами Применяя условие равенства двух векторов в координатах, получим систему:

Решая эту систему, найдем x = 1, y = – 2.

Ответ:

Второй способ. Обозначим через x, y координаты вектора в базисе Тогда

Учитывая, что каждая координата линейной комбинации двух векторов равна линейной комбинации соответствующих координат этих векторов, получим систему:

т.е.

Решая эту систему, найдем x = 1, y = – 2.

Ответ:

З адача 2. ABCD – параллелограмм, Е – середина стороны ВС, О – точка пересечения диагоналей AC и BD. Найдите координаты векторов в базисе

Решение. Так как (рис. 11), то , следовательно, .

Ответ: ,

Задача 3. В треугольной призме Р – середина ребра ВС, М – центр тяжести основания ABC. Найдите координаты вектора в базисе

Р ешение. По правилу треугольника (рис. 12). Так как , то По свойству центра тяжести треугольника Тогда

Ответ:

Задача 4. Даны векторы . При каком значении m векторы коллинеарны?

Решение. Найдем координаты векторов :

т.е. т.е. Для того, чтобы векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы первая координата вектора также была равна 0, т.е. откуда

Ответ: при

III. Задачи для упражнений

1. Даны три вектора . Найдите координаты вектора в базисе

2. АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы треугольника АВС, М – его центр тяжести. Найдите координаты векторов в базисе

3. Р – точка пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда . Найдите координаты вектора в базисе

4. Среди векторов заданных в базисе укажите векторы, компланарные с . Ответ поясните.

5. Даны векторы При каких значениях t будут коллинеарны векторы ?

IV. Задачи для самостоятельного решения

1. В базисе даны векторы Представьте вектор как линейную комбинацию векторов

2. ABCDEF – правильный шестиугольник, О – его центр. Найдите координаты векторов в базисе

3. В равнобокой трапеции ABCD AB – нижнее основание (AB > DC), угол BAD равен 60⁰. Найдите координаты векторов в базисе

4. Дан произвольный параллелепипед . Найдите координаты векторов в базисе и представьте вектор в виде линейной комбинации векторов

V. Задание на дом

1. Даны векторы Найдите координаты вектора в базисе

2. М – точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите координаты вектора в базисе

3. О – центр основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD. Найдите координаты вектора в базисе

4. При каком значении m векторы коллинеарны?