III. Задачи для упражнений
1. Вычислите определители второго порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Вычислите определители третьего порядка:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Как изменится определитель, если ко всем его строкам, начиная со второй, прибавить первую строку?
4. Как изменится определитель, если все его столбцы написать в обратном порядке?
5. Путем разложения
по элементам четвертой строки вычислите
определитель
.
6. Вычислите
коэффициент при х
в разложении определителя
.
7. Вычислите определители:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8. Найдите матрицы, обратные данным:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
IV. Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислите определители:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Пользуясь
определением определителя, вычислите
коэффициенты при
и
в выражении f(x)
=
.
3. Числа 104, 143, 231
делятся на 13. Докажите, что делится на
13 определитель
,
не вычисляя этого определителя.
4. Найдите матрицы, обратные данным:
а)
;
б)
;
в)
.
V. Задание на дом
1. Разложите по элементам третьего столбца и вычислите определитель:
.
2. Вычислите определители:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
3. Найдите матрицы, обратные данным:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие 3 Тема: «Ранг матрицы»
Литература для самостоятельного изучения темы: [5], гл. 5; [6], гл.VI; [7], гл. 1; [8], гл. 2.
I. Контрольные вопросы и задания
1. Что называют минором k-го порядка матрицы Аmxn?
2. Найдите миноры
второго и третьего порядков матрицы
.
3. Дайте определение ранга матрицы.
4. Каким числом может выражаться ранг матрицы Аmxn?
5. В каком случае ранг матрицы равен нулю?
6. В каком случае квадратная матрица k-го порядка имеет rang=k?
7. Перечислите свойства ранга матрицы.
8. При помощи каких преобразований ранг матрицы не меняется?
9. На чем основан метод окаймляющих миноров?
10. Найдите ранг
матрицы:
11. Дайте формулировку теоремы Кронекера-Капелли.
12. Что называют базисным минором матрицы?
II. Типовые задачи с решениями
Задача 1.
Найдите ранг
матрицы А
с помощью элементарных преобразований,
если
Решение. Применив
элементарные преобразования, приводим
данную матрицу к треугольному виду:
Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (–1), (–8), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья получена из второй путем прибавления второй строки к третьей.
Ранг последней
матрицы равен трем, так как имеется
отличный от нуля минор третьего порядка
этой матрицы.
,
а определитель самой матрицы (определитель
четвертого порядка) равен нулю.
Следовательно, ранг исходной матрицы
равен трем.
Ответ: rangA = 3.
Задача 2.
Вычислите
методом окаймляющих миноров ранг матрицы
Решение. Очевидно,
что матрица В
имеет
ненулевые миноры первого и, по крайней
мере, второго порядка:
Максимальный
порядок минора матрицы В
равен 4.
Следовательно,
Составим и вычислим последовательно миноры третьего порядка, окаймляющие найденный минор второго порядка.
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю, значит, ранг матрицы В равен 2.
Ответ: rangB = 2.
Задача 3. Определите с помощью теоремы Кронекера-Капелли совместность систем и решите их:
а)
б)
Решение.
а)
Основная расширенная матрица данной
системы имеет вид:
Найдем ранг этой
системы, приводя ее матрицу к ступенчатому
виду:
Ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы и равен 2, значит, система совместна, но так как ранг основной матрицы меньше числа неизвестных (n = 3), то множество ее решений является бесконечным.
В матрице минор
,
ему соответствует система уравнений
,
в которой
и
– базисные неизвестные,
– свободная неизвестная. Выразим
и
через
,
получим:
Ответ:
,
где
– любое действительное число.
б)
Основная расширенная матрица данной
системы имеет вид:
Найдем ранг этой
системы:
Ранг основной матрицы равен двум, а ранг расширенной – трем, следовательно, система несовместна.
Ответ: система несовместна.