3. Оценим надежность уравнения регрессии.
Проверку значимости
уравнения регрессии произведем на
основе вычисления F-критерия
Фишера. Доверительная вероятность р =
0,95;
.
Так как
,
то уравнение регрессии не статистически
значимо.
Проверим независимость по d-критерию Дарбина-Уотсона (табл. 3).
Таблица 3. Проверка условия независимости модели
,
так как 2,04 > 2, то имеет место отрицательная
автокорреляция. Рассчитаем значение
.
В качестве критических табличных уровней
при n
= 10 и двух объясняющих факторах при
уровне значимости в 5% возьмем величины
.
Так как имеем, что d’р
> d2,
то автокорреляция отсутствует.
Если вычислить
первый коэффициент автокорреляции, то
имеем:
,
следовательно, свойство независимости
выполняется.
Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
;
;
Таким образом, табличное значение при 5%-м уровне значимости и степенях свободы 10 – 2 – 1 = 7 равно 2,36. Так как 9,1 > 2,36; 0,211 < 2,36; -1,797 < 2,36, то коэффициенты а2 и а3 незначимы, коэффициент а0 значим.
Построим точечный
и интервальный прогнозы результирующего
показателя. Для фактора х2 построим
линейную модель
.
-
t
Х2
t*t
t*X2
X2 линейное
1
86
1
86
93,89
2
94
4
188
97,51
3
100
9
300
101,13
4
96
16
384
104,75
5
134
25
670
108,37
6
114
36
684
111,99
7
122
49
854
115,61
8
118
64
944
119,23
9
130
81
1170
122,85
10
108
100
1080
126,47
55
1102
385
6360
1101,8
5,5
110,2
38,5
636
110,18
Для фактора х3
построим линейную модель
-
t
X3
t*t
t*X3
X3-линейное
1
60
1
60
61,676
2
68
4
136
65,482
3
64
9
192
69,288
4
72
16
288
73,094
5
78
25
390
76,9
6
88
36
528
80,706
7
90
49
630
84,512
8
82
64
656
88,318
9
92
81
828
92,124
10
94
100
940
95,93
55
788
385
4648
788,03
5,5
78,8
38,5
464,8
Рис. 1. График для фактора х2.
Рис. 2. График для фактора х3.
Получаем, что
;
.
Таблица прогнозов (р = 95%) имеет вид:
Упреждение |
Прогноз |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
1 |
148,27 |
133,87 |
162,67 |
2 |
145,99 |
129,59 |
162,39 |
Графическое представление расчетов дано на рис. 5.
Рис. 3. График интервальных оценок двухфакторной модели
Задача 3. Собрана помесячная информация по Тульскому региону за 200Х год, включающая в условных единицах (у.е.) средний уровень заработной платы х1, средний размер оплаты за коммунальные услуги х2, средний размер расходов на бытовые услуги и нужды х2, средний остаток вклада на счете в банке у1.(табл. 1). Для исследования зависимости размера вклада на счете в банке у1 от общего уровня расходов и средней заработной платы х1, а также уровня расходов у2 от размера сбережений и расходов на коммунальные услуги х2 необходимо построить систему одновременных линейных уравнений, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Таблица 1. Исходные данные задачи
Средний размер вклада у1 |
Уровень расходов у2 |
Средняя зарплата, х1 |
Коммунальные услуги х2 |
15,20 |
72,55 |
199,00 |
42,00 |
23,00 |
81,86 |
213,50 |
43,00 |
11,00 |
63,18 |
194,00 |
52,50 |
14,80 |
54,48 |
209,00 |
79,00 |
11,50 |
34,16 |
195,00 |
89,00 |
10,70 |
31,46 |
199,50 |
99,00 |
Приведенная форма модели: у1 = 0,44х1 - 0,08х2;
у2 = 0,72х1 - 0,74х2.
Найти структурную форму модели. Рассчитать смоделированные уровни вклада и расходов на бытовые нужды.
Решение.
Согласно косвенному методу наименьших
квадратов система линейных одновременных
уравнений имеет вид:
.
Приведенная форма имеет вид:
.
Перейдем от приведенной к структурной
форме модели. Из второго уравнения
выразим
и подставим его в первое уравнение
системы. Получим первое уравнение
структурной модели:
,
или
.
Из первого уравнения
выразим
и подставим его во второе уравнение
системы. Получим второе уравнение
структурной модели:
,
или
.
Таким образом,
получили:
.
Вычислим свободные члены:
;
.
Окончательно получили следующую систему:
.
Рассчитаем смоделированные уровни вклада и расходов на бытовые нужды.
|
Средний размер вклада,
|
Уровень расходов,
|
Средняя зарпла- та, |
Коммуналь-ные услуги,
|
|
|
|
15,20 |
72,55 |
199,00 |
42,00 |
15,20 |
73,15 |
|
23,00 |
81,86 |
213,50 |
43,00 |
21,44 |
85,33 |
|
11,00 |
63,18 |
194,00 |
52,50 |
12,37 |
59,86 |
|
14,80 |
54,48 |
209,00 |
79,00 |
16,81 |
49,92 |
|
11,50 |
34,16 |
195,00 |
89,00 |
9,54 |
38,41 |
|
10,70 |
31,46 |
199,50 |
99,00 |
10,86 |
31,00 |
Итого |
86,20 |
337,69 |
1210,00 |
404,50 |
86,23 |
337,66 |
Средн. знач. |
14,37 |
56,28 |
201,67 |
67,42 |
|
|
Задача 4. Известны данные продажи квартир на вторичном рынке в Тульском регионе в тыс. у.е. (табл. 1). Требуется оценить возможную зависимость цены квартиры от ряда показателей: у - цена реализации квартиры на вторичном рынке жилья; х1 – цена новой квартиры; х2 – количество комнат, ед.; х3 – площадь квартиры, м2. Требуется построить двухфакторную регрессионную модель, отобрав наиболее значимые факторы, рассчитать коэффициент детерминации, коэффициенты эластичности, дать содержательную интерпретацию параметров и найденных коэффициентов модели.
Таблица 1. Исходные данные задачи
у |
х1 |
х2 |
х3 |
27,20 |
29,72 |
2 |
70,40 |
41,50 |
35,31 |
3 |
87,20 |
55,60 |
39,66 |
5 |
102,70 |
29,80 |
33,76 |
2 |
72,60 |
31,20 |
35,64 |
3 |
74,70 |
30,40 |
31,43 |
2 |
66,10 |
32,60 |
31,07 |
3 |
69,50 |
31,60 |
34,97 |
2 |
68,50 |
32,50 |
33,12 |
2 |
70,60 |
32,70 |
26,10 |
3 |
69,40 |
29,50 |
30,69 |
2 |
66,40 |
31,20 |
32,54 |
2 |
71,40 |
32,20 |
33,29 |
3 |
72,40 |