2.2. Двухвыборочныи t-тест с одинаковыми дисперсиями (тест Стьюдента)

Это средство реализует критерий проверки гипотезы о равенстве (неравенстве) математических ожиданий распределений двух независимых генеральных сово­купностей (малые независимые выборки), имеющих нормальные распределения с неизвестными дисперсиями в предположении, что дисперсии равны. Этот критерий, называется t-тестом или тестом Стьюдента.

Рассмотрим выходные данные, вычисляемые этим средством, на примере провер­ки нулевой гипотезы Н_о: μ₁ - μ₂ = δ (δ задано) против разных конкурирующих гипо­тез: Н₁: μ₁ ≠ μ₂ + δ или Н₁: μ₁ > μ₂ + δ, либо Н₁: μ₁ < μ₂ + δ (μ₁ и μ₂— неизвестные математические ожидания выборок). Исходные данные и заполненное диалоговое окно Двухвыборочныи t-тест с одинаковыми дисперсиями показаны на рис.23а. Вы­борки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей с од­ной и той же дисперсией, равной 1, и математическими ожиданиями 0 и 1 соот­ветственно². Проверим гипотезу, что μ₁ - μ₂ = 2 (на самом деле μ₁ - μ₂ = 1).

Рис. 2.3а. Исходные данные и диалоговое окно Двухвыборочныи t-mecm с одинаковыми дисперсиями

Отметим, что средство требует, чтобы δ, значение которого задается в поле Гипотетическая средняя разность, было неотрицательно. Поэтому первым (в поле ввода Интервал переменной 1) задается адрес диапазона ячеек, содержащий вы­борку с большим математическим ожиданием, а затем в поле Интервал переменной 2 указывается адрес второй выборки. (Диапазоны должны состоять из одного столбца или одной строки.) В поле Альфа вводится значение уровня значимости α.

Для удобства анализа результатов сформируем исходные данные таким образом, чтобы выборка с большим математическим ожиданием расположилась в первом столбце. В нашем примере необходимо поменяем местами исходные выборки. Итак, имеем две выборки объемом по 100 значений каждая, показанные на рис. 2.3б. Выборки имеют одинаковую дисперсию, равную 1, и математическими ожиданиями 1 и 0 соот­ветственно. Результат вычислений средства Двухвыборочныи t-тест с одинаковыми дисперсиями показан на рис.2.4.

Рис. 2.3б. Исходные данные и диалоговое окно Двухвыборочныи t-mecm с одинаковыми дисперсиями

Рис.2.4. Результат вычислений

В итоговой таблице приводятся следующие данные.

• Среднее — выборочные средние для каждой выборки.

• Дисперсия — несмещенные выборочные оценки дисперсий выборок.

• Наблюдения — объемы выборок.

• Гипотетическая разность средних — значение δ, которое задано в диалого­вом окне.

• Объединенная дисперсия — "средняя" оценка дисперсии; рассчитывается по формуле , где п и т — объемы выборок, s_i² — оценки дисперсий (их значения приводятся в строке Дисперсия).

• df — число степеней свободы; вычисляется как (п + т - 2).

• t-статистика — значение критериальной статистики; вычисляется по формуле , имеет распределение Стьюдента с df степенями свободы.

• P(T<=t) одностороннее — вероятность P(X ≤ t), где X — случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с df степенями свободы, t — подсчи­танное значение критериальной статистики.

• t критическое одностороннее — значение квантиля t_кр1 порядка (1 – α) рас­пределения Стьюдента с df степенями свободы.

• P(T<=t) двухстороннее — вероятность Р(|Х|<|t|), где X — случайная величи­на, имеющая распределение Стьюдента с df степенями свободы, t — под­считанное значение критериальной статистики.

• t критическое двухстороннее — значение квантиля t_кp2 порядка (1 - а/2) рас­пределения Стьюдента с df степенями свободы.

Нулевая гипотеза Н_о: μ₁ - μ₂ = δ принимается, если \t\ < t_кp2 (в противном случае отвергается); гипотеза Н_о при конкурирующей гипотезе Н₁: μ₁ > μ₂ + δ принимается, если t < t_кp1; при конкурирующей гипотезе Н₁: μ₁ < μ₂ + δ нулевая гипотеза принимается при выполнении неравенства

t > -t_кp1 .

Как видно из результатов расчета, в данном примере нулевую гипотезу Н_о: μ1 - μ2 = δ следу­ет отвергнуть при конкурирующей гипотезе о неравенстве μ1 - μ2 ≠ δ и конкурирующей гипотезе H₁: μ1 < μ2 + δ. При конкурирующей гипотезе H₁: μ1 > μ2 + δ нулевую гипотезу Н_о: μ1 - μ2 = δ нет оснований отвергать.

Статистическая функция ТТЕСТ при значении аргумента Тип = 2 вычисляет вероятности P(T<=t) двухстороннее и P(T<=t) одностороннее.