2.4. Парный двухвыборочный t-тест для средних (тес­т Стьюдента для парных наблюдений)

Это средство реализует критерий проверки гипотезы о равенстве (неравенстве) математических ожиданий распределений двух зависимых выборок, имеющих нормальные распределения. Этот критерий также называется t-тестом или тес­том Стьюдента для парных наблюдений.

Рассмотрим выходные данные, вычисляемые этим средством, на примере проверки нулевой гипотезы Н_о: μ₁ - μ₂ = δ (δ задано) против разных конкурирующих гипо­тез: Н₁: μ₁ ≠ μ₂ + δ или Н₁: μ₁ > μ₂ + δ, либо Н₁: μ₁ < μ₂ + δ (μ₁ и μ₂— неизвестные математические ожидания выборок). Рассмотрим пример, когда выборки извлечены из нормально распределенных генераль­ных совокупностей с математическими ожиданиями соответственно 1 и 0.

Проверим гипотезу, что: μ₁ - μ₂ = 0 (на самом деле μ₁ - μ₂ = 1). Исходные данные и заполненное диалоговое окно Парный двухвыборочныи t-тест для средних показаны на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Исходные данные и диалоговое окно Парный двухвыборочныи t-mecm для средних

Отметим, что средство требует, чтобы δ, значение которого задается в поле Гипотетическая средняя разность, было неотрицательно. Поэтому первым (в поле ввода Интервал переменной 1) задается адрес диапазона ячеек, содержащий вы­борку с большим математическим ожиданием, а затем в поле Интервал переменной 2 указывается адрес второй выборки. (Диапазоны должны состоять из одного столбца или одной строки.) В поле Альфа вводится значение уровня значимости α. Результат вычислений средства Парный двухвыборочныи t-тест для средних показан на рис. 2.8.

Рис.2.8. Результат вычислений

В итоговой таблице приводятся следующие данные.

• Среднее — выборочные средние для каждой выборки.

• Дисперсия — несмещенные выборочные оценки дисперсий выборок.

• Наблюдения — объемы выборок.

• Корреляция Пирсона — выборочный коэффициент корреляции; вычисляется по формуле .

• Гипотетическая разность средних — значение δ, которое задано в диалого­вом окне.

• df — число степеней свободы, равное (п – 1).

• t-статистика — значение критериальной статистики; вычисляется по формуле , где

, , и имеет распределение Стьюдента с df степенями свободы.

• P(T<=t) одностороннее — вероятность P(X ≤ t), где X — случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с df степенями свободы, t — подсчи­танное значение критериальной статистики.

• t критическое одностороннее — значение квантиля t_кр1 порядка (1 – α) рас­пределения Стьюдента с df степенями свободы.

• P(T<=t) двухстороннее — вероятность Р(|Х| ≤ |t|), где X — случайная величи­на, имеющая распределение Стьюдента с df степенями свободы, t — под­считанное значение критериальной статистики.

• t критическое двухстороннее — значение квантиля t_кp2 порядка (1 - α/2) рас­пределения Стьюдента с df степенями свободы.

Нулевая гипотеза Н_о: μ₁ - μ₂ = δ принимается, если |t| < t_кр2, (в противном случае отвергается); гипотеза Н_о при конкурирующей гипотезе H₁: μ₁ > μ₂ + δ принимается, если t < t_кр1 , при конкурирующей гипотезе H₁: μ₁ < μ₂ + δ нулевая гипотеза принимается при выполнении неравенства

t > -t_кp1.

Как видно из результатов расчета, в данном примере нулевую гипотезу Н_о: μ1 - μ2 = δ следу­ет отвергнуть при конкурирующей гипотезе о неравенстве μ1 - μ2 ≠ δ и конкурирующей гипотезе H₁: μ1 > μ2 + δ. При конкурирующей гипотезе H₁: μ1 < μ2 + δ нулевую гипотезу Н_о: μ1 - μ2 = δ нет оснований отвергать.

Статистическая функция ТТЕСТ при значении аргумента Тип = 1 вычисляет вероятности P(T<=t) двухстороннее и P(T<=t) одностороннее.