2.5. Двухвыборочный f-тест для дисперсий

Это средство реализует критерий Фишера проверки равенства дисперсий двух независимых выборок из нормально распределенных генеральных совокупностей с дисперсиями соответственно σ₁² и σ₂². Рассмотрим выходные данные, вычисляемые этим средством, на примере провер­ки нулевой гипотезы Н_о: σ₁² = σ₂² против конкурирующей гипотезы Н₁: σ₁² ≠ σ₂².

Рассмотрим пример, когда выборки извлечены из нормально распределенных гене­ральных совокупностей с равными дисперсиями 2. Исходные данные и заполнен­ное диалоговое окно Двухвыборочный F-тест для дисперсий показаны на рис.2.9.

Рис. 2.9. Исходные данные и диалоговое окно Двухвыборочный F-тест для дисперсий

Отметим, что первой (в поле Входной интервал 1) должна задаваться выборка, имеющая большую дисперсию. В поле Альфа вводится значение уровня значи­мости α. Результат вычислений средства Двухвыборочный F-тест для дисперсий показан на рис. 3.1.

Рис.3.1 Результат вычислений

В итоговой таблице приводятся следующие данные.

• Среднее — выборочные средние для каждой выборки.

• Дисперсия — несмещенные выборочные оценки дисперсий выборок.

• Наблюдения — объемы выборок.

• df — числа степеней свободы, равные (n - 1) и (т – 1); п и т — объемы выборок.

• F — значение критериальной статистики, вычисляемой по формуле

, где ,

и имеющей F-распределение со степенями свободы k₁= п - 1 и k₂ = т - 1 .

• P(F<=f) одностороннее — вероятность P(X ≤ F), где X — случайная величи­на, имеющая F-распределение с df степенями свободы, F — подсчитанное значение критериальной статистики.

• F критическое одностороннее — значение квантиля t порядка (1 – α) F-распределения с df степенями свободы.

Нулевая гипотеза Н_о принимается, если F < Fкр1 (в противном случае отвергает­ся). Как видно из результатов расчета, в данном примере нулевую гипотезу сле­дует принять.

Статистическая функция ФТЕСТ вычисляет удвоенную ве­роятность P(F<=f) одностороннее.

3. Задание к лабораторной работе

   1. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел разной длины, имеющих нормальное распределение. С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Двухвыборочныи z-тест для средних нулевую гипотезу, что μ₂ — μ₁ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

   2. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел одинаковой длины, имеющих нормальное распределение, с од­ной и той же дисперсией. . С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Двухвыборочныи t-тест с одинаковыми дисперсиями нулевую гипотезу, что μ₁ - μ₂ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

   3. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел одинаковой длины, имеющих нормальное распределение и разные дисперсии. . С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями нулевую гипотезу, что μ₁ - μ₂ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

   4. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел одинаковой длины, имеющих нормальное распределение и разные дисперсии. С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Парный двухвыборочныи t-тест для средних нулевую гипотезу, что μ₁ - μ₂ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

   5. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел одинаковой длины, имеющих нормальное распределение и разные дисперсии. С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Двухвыборочный F-тест для дисперсий нулевую гипотезу, что μ₁ - μ₂ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

   6. Сгенерировать 2 выборки значений случайных чисел разной длины, имеющих нормальное распределение и разные дисперсии. С помощью средств Пакета анализа получить дисперсии и математические ожидания каждой выборки. Про­верить с помощью средства Двухвыборочный F-тест для дисперсий нулевую гипотезу, что μ₁ - μ₂ = (произвольное число из [0,5; 50] ) для разных случаев конкурирующих гипотез при α=0,05.

Сравнить результаты из п/п 3.5 и 3.6.